Vamos analisar cada item com base na função dada \( T(x, y) = 2x + 3y^3 \). Primeiro, precisamos calcular as derivadas parciais da função em relação a \( x \) e \( y \): 1. Derivada parcial em relação a \( x \): \[ \frac{\partial T}{\partial x} = 2 \] 2. Derivada parcial em relação a \( y \): \[ \frac{\partial T}{\partial y} = 9y^2 \] Agora, vamos avaliar as derivadas no ponto \( (0, 3) \): - Para \( \frac{\partial T}{\partial x} \) no ponto \( (0, 3) \): \[ \frac{\partial T}{\partial x} = 2 \quad \text{(constante, não depende de y)} \] - Para \( \frac{\partial T}{\partial y} \) no ponto \( (0, 3) \): \[ \frac{\partial T}{\partial y} = 9(3^2) = 9 \times 9 = 81 \] Agora, vamos analisar cada item: I. A taxa de variação da temperatura em relação a \( x \) no ponto \( (0,3) \) é de 486. FALSO, pois a taxa de variação em relação a \( x \) é 2. II. A taxa de variação da temperatura em relação a \( y \) no ponto \( (0,3) \) é de 486. FALSO, pois a taxa de variação em relação a \( y \) é 81. III. A taxa de variação da temperatura no ponto \( (0,3) \) na direção do vetor \( \mathbf{u} = (0,1) \) é de 729. Para calcular a taxa de variação na direção do vetor \( \mathbf{u} \), precisamos normalizar o vetor e calcular o produto escalar das derivadas parciais com o vetor. O vetor \( \mathbf{u} \) já é um vetor unitário, então: \[ \nabla T(0, 3) = \left( \frac{\partial T}{\partial x}, \frac{\partial T}{\partial y} \right) = (2, 81) \] A taxa de variação na direção de \( \mathbf{u} \) é dada por: \[ \nabla T \cdot \mathbf{u} = 2 \cdot 0 + 81 \cdot 1 = 81 \] FALSO, pois a taxa de variação na direção do vetor \( \mathbf{u} \) é 81, não 729. Portanto, todos os itens estão incorretos. Não há uma alternativa correta.