Material de Estudo - Módulo 4

Prévia do material em texto

MODULO 4 
 
 
Sistemas estruturais básicos 
 
 
Introdução 
 
 Nos próximos itens, será apresentada uma série de sistemas estruturais 
básicos compostos por barras, a partir dos quais, através de associações 
adequadas, pode-se criar uma quantidade quase infinita de possibilidades 
estruturais. O estudo desses sistemas estruturais será dividido em alguns sub-
itens, onde serão discutidos seu comportamento estático e elementos para o pré-
dimensionamento. 
 O pré-dimensionamento dos sistemas estruturais pode ser feito através de 
fórmulas empíricas ou pelo uso de gráficos. Os gráficos aqui apresentados foram 
elaborados pelo professor Philip A. Corkill da Universidade de Nebraska e que 
foram traduzidos e adaptados para o sistema métrico pelos professores Yopanan 
C. P. Rebello e Walter Luiz Junc, com a colaboração da arquiteta Luciane 
Amante. 
 Os gráficos apresentam nas abscissas valores que correspondem a uma 
das variáveis, como vãos, quando se trata de estruturas como cabos, vigas e 
treliças, ou o número de pavimentos ou altura não travada, quando se trata de 
pilares. Nas ordenadas estão os valores correspondentes, resposta do pré-
dimensionamento, como flecha do cabo, altura da seção do arco, da viga e da 
treliça, ou, ainda, a dimensão mínima de um dos lados da seção do pilar. 
 Os gráficos não são apresentados na forma de uma linha, mas de uma 
superfície contida entre duas linhas. A linha superior representa os valores máximos 
de pré-dimensionamento e a inferior os valores mínimos. O uso do limite inferior ou 
superior depende de bom senso. Se a estrutura for pouco carregada, como estruturas 
 
de cobertura, usa-se o limite inferior, ou na dúvida a região intermediária. Quando a 
estrutura é bastante carregada usa-se o limite superior. Ver figura 38. 
 
FIG. 38 
 
altura
altura
máxima
vão
altura
mínima
 
 
TE 37 
 
O cabo 
 
Comportamento 
 
O cabo é uma barra em que seu comprimento é tão predominante em 
relação à sua seção transversal que se torna flexível, ou seja, não apresenta 
rigidez nem à compressão e nem à flexão. Em outras palavras, o cabo não 
apresenta qualquer resistência a esforços de compressão e flexão, deformando-
se totalmente quando submetido a esses esforços. O cabo apresenta resistência 
apenas quando tracionado, por isso ele deve ser usado em situações em que 
ocorra esse tipo de esforço. Como foi visto anteriormente, o esforço de tração 
simples é o mais favorável, resultando em elementos estruturais bastante 
esbeltos e, portanto leves, tanto física como visualmente. Por isso as estruturas 
 
 
em cabos, também chamadas estruturas suspensas ou pênseis, são estruturas 
que podem vencer grandes vãos com pequeno consumo de material. 
 Para se entender o comportamento de um cabo, suponha-se o modelo 
apresentado na figura 39, composto por um fio que tenha em seus extremos anéis 
que o prendam a uma barra rígida. Suponha, também, que esse fio seja 
carregado em seu ponto médio por um peso qualquer P. A tendência dos anéis, 
que servem de apoio, é escorregarem sobre a barra rígida, solicitados por uma 
força horizontal, até se juntarem na mesma vertical do peso. Ver figura 39. 
 
 
FIG. 39 
 
 
Para evitar esse escorregamento devemos fixar os anéis num ponto qualquer da 
barra rígida. O cabo nessa posição adquirirá uma forma triangular. Chamaremos 
de flecha do cabo a altura do triângulo assim formado. Ver figura 40. 
 
 
 
 
 
 
 
 FIG. 40 
 
 
flecha
TT
F
 
 
Se alterarmos a posição e/ou a quantidade de cargas o cabo apresentará, 
para cada situação, uma forma diferente. Se nesse cabo colocarmos duas cargas 
iguais e simétricas, notar-se-á que o cabo se deformará e apresentará a 
conformação de um trapézio, conforme mostra a figura 41. Ao se aumentar o 
número de cargas observar-se-á que para cada conjunto o cabo apresentará uma 
forma de equilíbrio diferente. Se as cargas forem iguais e igualmente espaçadas 
em relação a horizontal, o cabo apresentará, quando totalmente carregado, a 
forma de uma parábola de segundo grau. Se as cargas forem iguais, mas 
igualmente espaçadas ao longo do comprimento do cabo, como acontece com 
seu peso próprio, a curva será ligeiramente diferente da parábola e se chamará 
catenária. Nessas duas últimas situações a flecha do cabo será dada pela 
distância entre a horizontal que passa pelos apoios do cabo e seu ponto mais 
afastado dessa horizontal. Ver figura 41. 
 
 
 
 
 
 
 
FIG. 41 
 
T T
T
F F
 
As diversas formas que o cabo adquire em função do carregamento 
denominam-se funiculares das forças que atuam no cabo. Em outras palavras, 
o caminho que as forças percorrem ao longo do cabo até chegarem aos seus 
apoios. A palavra funicular vem do vocábulo latino funis, que significa corda e do 
grego gonos que significa ângulo. 
 Como o cabo só admite esforço de tração simples, devido às suas 
condições de rigidez, conclui-se que as forças ao longo do seu comprimento são 
sempre de tração simples e variam de intensidade toda vez que mudam de 
direção, aumentando do meio do vão para o apoio. 
 Para um determinado carregamento e vão, a força horizontal necessária 
para dar o equilíbrio ao cabo, aumenta com a diminuição da flecha. Isso poderá 
ser facilmente verificável através de uma simples experiência: suponha que se 
esteja suportando com as mãos uma das extremidades de uma corda, que 
sustenta um peso aplicado no meio. Sem sair da posição procure-se retificar essa 
corda. Note que você terá que aplicar forças cada vez maiores na medida em que 
a flecha da corda diminui, ou seja, aplicar uma força horizontal cada vez maior. 
Conclui-se desse fato que existe uma relação inversa entre a flecha do 
cabo e a reação horizontal nos apoios, com a reação vertical mantendo-se 
constante, pois esta só depende do peso aplicado ao cabo. Pode-se também 
 
 
verificar que, para dado carregamento e vão, a solicitação no cabo depende da 
variação da força horizontal, portanto do valor da flecha. Ver figura 42. 
 
 
FIG. 42 
 
L
L
L
F
F
F
H1 H1
H2 H2
H3 H3
f1
f2
f3
 
L
L
L
F
F
F
H1 H1
H2 H2
H3 H3
f1
f2
f3
 
L
L
L
F
F
F
H1 H1
H2 H2
H3 H3
f1
f2
f3
 
 f1>f2>f3 
H1<H2<H3 
 
 
 
 
Pré dimensionamento 
 
 Conclui-se, do exposto acima, que quanto menor a flecha maior será a 
solicitação no cabo. Aqui surge um interessante problema: um cabo com flecha 
pequena é mais solicitado, e requer uma maior seção. Por outro lado tem um 
 
 
 
comprimento menor, o que corresponde a um determinado volume de material. 
Se a flecha for grande será menos solicitado, logo terá uma seção menor, mas 
em compensação um comprimento maior, resultando em outro volume de 
material. Portanto deve existir uma relação entre flecha e vão que resulte no 
menor volume de material. Essa relação depende do tipo de carregamento e 
encontra-se entre os seguintes limites: 
 
1/10f / l1/5. 
 onde: f: flecha do cabo 
 l: vão do cabo. 
 
Para avaliar o diâmetro do cabo, usamos o seguinte valor: ϕ = 0,1 % do vão. 
Podemos também definir a flecha adequada usando o gráfico da figura 43 
 
FIG 43 
15.0
12.0
9.0
6.0
3.0
0 15.0 30.0 45.0 60.0 75.0 90.0 105.0 120.0 135.0 150.0
CABOS DE AÇO
d
L
d
F
LE
C
H
A
 
 E
M
 
 M
E
TR
O
 -
 d
VÃO EM METRO - L
 
 
 
 
 
 
TE 38 
 
 
O arco 
 
Comportamento 
 
O uso do arco remonta a épocas remotas quando os materiais estruturais 
restringiam-se a madeira e pedra. 
Os primeiros arcos eram executados com blocos que se apoiavam com um 
pequeno balanço em relação ao anterior. É o chamado arco falso. Esses arcos 
não permitiam vencer grandes vãos. O arco verdadeiro, provavelmente surgiu da 
desestabilização do arco falso que resultou numa disposição dos blocos mais 
adequada para vãos maiores. O arco verdadeiro é resultado do empilhamentode 
diversos blocos, de maneira que o comprimento resultante seja maior que o vão a 
ser vencido. Desta maneira qualquer bloco para se dirigir ao solo, sob a ação da 
gravidade, deve provocar um “apertamento” nos dois blocos vizinhos, e assim 
sucessivamente. Mantendo-se os apoios indeslocáveis, todo o sistema 
permanecerá submetido a compressão, mantendo os blocos unidos e o arco 
íntegro. Ver figura 44. 
 
FIG 44 
 
 
 
Arco falso 
 
 
 
 
 
http://www.google.com.br/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&source=images&cd=&cad=rja&uact=8&ved=0CAcQjRxqFQoTCOLy0ojkyMYCFVPggAodeM0Efw&url=http://www.xtec.cat/~cgarci38/ceta/tecnologia/arcos.htm&ei=9aWbVaKkHNPAgwT4mpP4Bw&bvm=bv.96952980,d.eXY&psig=AFQjCNEq1REcQ0Ka6U7aI0k3VtGdu_88qw&ust=1436350319324208
 
 
 
Arco verdadeiro 
 
 
Apesar de originalmente o arco ser um sistema estrutural submetido a 
compressão, não se pode generalizar afirmando que nele só existem esforços de 
compressão. Isso nem sempre é verdade. Os esforços no arco podem variar de 
acordo com a forma de carregamento que incide sobre ele. 
 
Para entender essa relação, será utilizado um modelo a partir de um cabo. 
Como já visto, o cabo, por não ter rigidez, só é capaz de absorver esforço de 
tração axial. Portanto em qualquer situação de carregamento pode-se afirmar que 
o cabo encontra-se submetido à tração simples. Outra característica importante 
dos cabos é que sua forma deformada muda de acordo com a quantidade e 
posição das cargas. A essa forma adquirida pelo cabo dá-se o nome de funicular. 
Ver figura 45. 
FIG 45 
 a b c 
Nos exemplos acima é sempre possível afirmar que no cabo existem apenas 
esforços de tração simples. 
 
http://www.google.com.br/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&source=images&cd=&cad=rja&uact=8&ved=0CAcQjRw&url=http://it.dreamstime.com/fotografia-stock-arco-di-pietra-image20058290&ei=HcGTVfV4zN_5AbaEuZAO&bvm=bv.96952980,d.cWw&psig=AFQjCNHm6nhWVsElOhC0IKgYtKzcNBJaDQ&ust=1435832975867525
 
Assim, se as formas funiculares forem invertidas, usando uma barra rígida e 
mantendo o mesmo carregamento, resultarão em estruturas onde se pode 
garantir estarem sujeitas apenas a compressão simples. Ou seja, para se ter um 
“arco” só comprimido, sob a ação de uma única carga concentrada, sua forma 
deverá ser triangular, que é o oposto do funicular dessa carga. Ver funicular a da 
figura 45. 
 
Note que no último modelo o cabo, com cargas uniformemente distribuídas 
ao longo do seu comprimento, adquire uma forma funicular que é a curva 
denominada catenária. Invertida, ela nos dá o arco ideal para cargas de peso 
próprio (cargas iguais ao longo do comprimento do arco). 
 
Conclui-se, pois, que para se ter apenas esforços de compressão, a forma 
do arco deverá ser o inverso do funicular das forças a ele aplicadas. Ver figura 46. 
 
FIG 46 
 
 
 
 
 a b c 
 
 
 
 
Esses arcos são chamados de arcos funiculares. Qualquer modificação no 
carregamento provoca esforços de flexão, além de compressão axial. E como é 
sabido, o esforço de compressão axial é mais econômico que o de flexão, 
portanto é econômico evitar a flexão no arco. 
 
Um caso extremo é apresentado na figura 47. Um arco parabólico 
sustentando uma carga concentrada no meio do vão. 
 
 
 
FIG 47 
funicular
forma do arco
momento 
fletor
momento 
fletor
F
F
C
T T
C
C
T
C
excentricidade
 
 
Viu-se que a forma ideal de um arco para conduzir uma força concentrada 
aos apoios é o triângulo, o anti-funicular da força. O arco obriga o carregamento a 
descrever um caminho mais longo, afastado da trajetória ideal. Isso provoca uma 
excentricidade entre o caminho ideal e o fornecido pelo arco, o que fará surgir 
esforço de flexão, o qual para ser absorvido exige uma seção mais robusta para a 
peça e, portanto menos econômica. 
 
Deduz-se, portanto, que o arco torna-se uma estrutura econômica quando 
sua forma é o anti-funicular das forças aplicadas. 
 
 
 
No caso de arcos com carregamento uniforme ao longo da horizontal, sua 
forma ideal é a parabólica. Para arcos submetidos apenas ao seu peso próprio, a 
forma ideal é a catenária. 
 
Visualmente a diferença entre uma curva parabólica e catenária é quase 
imperceptível. Pode-se dizer que para arcos bastante abatidos as curvas são 
praticamente iguais. 
 
 Normalmente os arcos são construídos com forma parabólica para facilitar a 
execução, seja para cargas uniformes ao longo da horizontal, seja para peso 
próprio. É claro que para estas últimas aparecerão esforços de flexão, mas não 
chegam a influenciar as dimensões do arco. 
 
 
Tipos de arcos 
 
Dependo da situação em que são usados ou do processo construtivo 
escolhido, os arcos podem apresentar vínculos articulados ou engastados. Estes 
últimos são usados apenas em casos especiais, pois introduzem esforços de 
flexão. 
 
a) Arco tri-articulado 
 
É o tipo de arco mais utilizado, principalmente pela facilidade de execução. 
Como o próprio nome diz, esse tipo de arco apresenta três articulações, duas nos 
apoios e uma terceira normalmente localizada no centro. Ver figura 48. 
 
FIG 48 
 
 
O arco tri-articulado apresenta uma grande vantagem construtiva. Cada 
trecho entre as articulações pode vir pronto para montagem no canteiro. Além 
disso, caracterizam-se por uma boa adaptação a mudanças de forma geradas por 
dilatação térmica, deformações próprias, entre outras, pois as articulações 
permitem melhor acomodação das peças. 
 
Os arcos tri-articulados são isostáticos, o que facilita seu cálculo, mas em 
compensação possuem seções mais robustas aumentando seu custo em relação 
aos outros tipos. 
 
Os arcos tri-articulados são mais usados em estruturas metálicas. 
 
Atenção! Não existe arco tetra-articulado. Um arco com mais de três 
articulações é hipostático, ou seja, não é estável. 
 
ARCO TRI ARTICULADO 
ARCO BI ARTICULADO 
ARCO BI ENGASTADO 
 
 
b) Arco bi-articulado 
 
Esse tipo de arco apresenta articulações apenas nos apoios. Não tem a 
mesma versatilidade de acomodação às mudanças de forma como o tri-
articulado, portanto mais sujeito ao aparecimento de esforços de flexão 
indesejados. Ver figura 48 
Do ponto de vista construtivo, é menos interessante que o articulado. 
Os arcos biarticulados são mais usados em concreto armado. 
 
c) Arco biengastado 
 
Seu uso é bastante incomum e só acontece quando há necessidade 
expressa de ligação rígida nos apoios. É o tipo de arco que mais consome 
material, pois apresenta momentos fletores devidos ao engastamento. Por outro 
lado é muito estável e, por isso, é utilizado para arcos isolados. Ver figura 48 
 
Os arcos biengastados são mais raros em estruturas. 
 
A questão dos empuxos 
 
Um arco só é estável se seus apoios forem indeslocáveis, ou seja, 
articulados fixos. Se um dos apoios for móvel, o arco se transforma em uma viga 
parabólica, onde predomina flexão. Com isso suas dimensões serão bem 
maiores, da ordem de cinco vezes, tornando a solução totalmente antieconômica. 
 
Todos os arcos, quaisquer que sejam suas formas, apresentam nos apoios a 
tendência de se deslocarem na horizontal, aplicando a eles forças horizontais, 
denominadas empuxos horizontais. 
 
A intensidade dos empuxos é inversamente proporcional à flecha do arco. 
 
 
 Denomina-se flecha do arco à sua altura no meio do vão. 
 
Sempre que possível os empuxos não devem ser transmitidos aos apoios. 
Empuxos em pilares provocam grandes flexões, que também são transmitidas 
às fundações, encarecendo a solução. 
 
Os empuxos horizontais nos arcos podem ser absorvidos por tirantes, 
descarregando nos apoios apenas forças verticais, resultando em pilares e 
fundações de menores dimensões.Ver figura 49. 
FIG 49 
tirantes
pilares
 
 
Por outro lado, o tirante pode ser um elemento indesejável no espaço 
interno da edificação, como, por exemplo, em quadras esportivas. Neste caso, 
os pilares serão responsáveis pela absorção das forças horizontais e ficarão 
submetidos a grandes esforços de flexão, o que exigirá deles maiores 
dimensões. Quando essa solução for inevitável recomenda-se criatividade para 
absorvê-la na arquitetura ou até mesmo tirar partido das novas dimensões 
resultantes. Ver figura 50 
 
 
 
 
FIG 50 
pilares
 
 
Pré dimensionamento 
 
O arco é, depois do cabo, o sistema estrutural que vence maiores vãos com 
menores quantidades de material. Por isso o arco é usado, principalmente, 
quando se necessita vencer vãos de médio e grande porte, como coberturas de 
galpões, hangares e outras semelhantes. 
Para um pré dimensionamento expedito podem-se usar as seguintes relações: 
 
 
Os gráficos apresentados a seguir dão as espessuras necessárias do arco, assim 
como as flechas mais indicadas, para os diversos materiais. Ver figura 51. 
 
 
 
Largura b de 1/3 a 1/2 de h 
 
FIG 51 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 TE 39 
Treliças Planas 
 
Como se sabe, os esforços de tração simples e de compressão simples são 
esforços mais favoráveis que os de flexão, por resultarem em seções estruturais 
mais econômicas. 
 
 
 
O ideal seria que as estruturas fossem submetidas apenas à tração simples, 
o que é impossível. Pois mesmo as estruturas em lona ou malha de cabos, que 
são submetidas apenas à tração simples, apresentam nos seus mastros de apoio 
compressão simples. Ver figura 52. 
 
FIG 52 
 
Vê-se pela figura que mesmo apresentando barras comprimidas a estrutura 
resulta leve. Portanto, tração e compressão simples são esforços que resultam 
em estruturas leves e econômicas. 
 
A figura 53 compara duas soluções estruturais vencendo o mesmo vão. Na 
primeira predomina compressão e na segunda flexão. Sem dúvida, a segunda 
solução resultará em uma estrutura mais pesada e mais cara. 
FIGURA 53 
 
 
 
 
 
 
 
 
Comportamento 
 
Para entender o comportamento da treliça tome-se o modelo a da figura 46. 
Pode-se assumir o modelo como um “arco” funicular da carga concentrada. Daí 
deduz-se que as barras estão submetidas apenas a esforços de compressão 
simples e aplicam aos apoios forças horizontais (empuxos). 
 
Se os pilares forem articulados em sua base, tombarão sob a ação dos 
empuxos. Para evitar o tombamento dos pilares, tem-se como solução, a 
colocação de um tirante entre eles. Ver figura 54. 
FIG 54 
 
F
CC
T
 
 
 
Dessa maneira, têm-se as barras inclinadas submetidas a compressão 
simples e o tirante a tração simples. 
 
O resultado é uma estrutura estável formada por um triângulo e com barras 
submetidas apenas a esforços de tração e compressão axiais, logo uma estrutura 
bastante econômica. 
 
 
 
 
Suponha, em seguida, que existam dois vãos a vencer. A solução mais 
imediata é o uso de duas estruturas iguais às anteriores apoiadas entre pilares. 
Suponha agora, que para liberar o espaço interno, se retira o pilar central. A 
estrutura ficará instável e girará sobre seus apoios extremos, tendendo a se 
aproximar. Ver figura 55. 
 
 
 
 
FIG 55 
F F
 
 
Para restabelecer o equilíbrio será necessária a colocação de uma barra 
rígida na parte superior. Nessa situação a barra superior ficará submetida à 
compressão simples. A estrutura assim originada é uma treliça. Ver figura 56. 
 
FIG 56 
 
 
F F
T
C
T
C C CCC
C
 
 
Portanto, pode-se definir uma treliça como um sistema estrutural formado 
por barras que se unem em nós articulados, formando triângulos e sujeitas 
apenas a forças de compressão e tração axiais. 
 
Tipos de treliças 
 
As treliças podem adquirir as mais diversas formas. Para se comportarem 
como treliças as barras devem formar triângulos e terem os nós articulados. Na 
prática, os nós dificilmente são executados como perfeitamente articulados. É 
necessário que as ligações entre as barras sejam projetadas de maneira a que se 
tornem menos rígidas possíveis. Na figura 57 são apresentadas as treliças mais 
comuns. 
 
FIG 57 
 
 
 
As barras dessas treliças recebem nomes especiais: as barras superiores e 
inferiores recebem o nome de banzos; as barras inclinadas de diagonais e as 
verticais de montantes. 
 
As treliças a, b e e são comumente usadas para coberturas em duas águas. 
Quando invertidas podem ser usadas como vigas de cobertura e até de piso. 
 
As treliças c e d, denominadas de treliças de banzos paralelos, são usadas como 
vigas, tanto para coberturas como pisos. A treliça f, de banzos paralelos, não 
apresenta montantes. Por ter menor quantidade de barras é sempre mais 
econômica, porém, nem sempre é possível seu uso, como será visto mais 
adiante. 
 
A direção de inclinação das diagonais é importante para garantir economia e 
um bom desempenho da treliça. No caso de estruturas em aço, é recomendável 
 
 
 
que as diagonais trabalhem sempre a tração. Isso se deve ao fato de serem as 
diagonais as barras mais longas da treliça e se submetidas a compressão 
 
apresentam a tendência de flambar, principalmente por sua grande esbeltez. Se 
submetidas à compressão deverão ser reforçadas o que aumenta o peso da 
treliça e em consequência seu custo. As treliças b e d, da figura 57, são as mais 
indicadas para serem executadas em aço e as a e c em madeira. Como as barras 
em madeira são mais robustas, não existe a preocupação de que trabalhem a 
tração, pelo contrário, dá-se preferência a que sejam comprimidas para facilitar a 
ligação por simples encaixe. 
 
Como já dito, as treliças são sistemas estruturais que se tornam econômicos 
por apresentarem apenas esforços axiais de compressão e tração. Por isso a 
ocorrência de flexão deve ser evitada. A aplicação de cargas fora dos nós da 
treliça resulta no aparecimento de momento fletor nas barras, o que não é 
aceitável do ponto de vista econômico. Ver figura 58. 
 
FIG 58 
 
 
 
Apesar de consumirem menos material que as vigas de alma cheia, as 
treliças demandam mais mão-de-obra para sua execução. Como o que importa é 
o custo total, material e mão de obra, não é para qualquer vão que a treliça se 
 
 
torna uma solução econômica. Do ponto de vista prático a treliça metálica se 
torna econômica para vãos acima de 10 m e as de madeira para vãos acima de 
6,0 m. 
 
Pre dimensionamento 
 
a) Uso de fórmulas empíricas. 
 
Quanto mais alta for a treliça, menores serão os esforços nas barras, mas, por 
outro lado, mais longas elas serão resultando num peso maior. As treliças mais 
econômicas são as que apresentam a relação entre altura da treliça e vão, 
compreendida entre 1/7 e 1/10. Em casos extremos podem ser utilizados valores 
entre 1/5 e 1/15, já não tão econômicos. 
 
b) Uso dos gráficos. 
Ver figura 59 
 
FIG 59 
7.5
6.0
4.5
3.0
1.5
0 9.0 18.0 27.0 36.0 45.0 54.0 63.0 72.0 81.0 90.0
TRELIÇAS PLANAS - AÇO
A
LT
U
R
A
 
 E
M
 
 M
E
TR
O
 -
 d
VÃO EM METRO - L
d
d
L
 
 
 
 
7.5
6.0
4.5
3.0
1.5
0 4.5 9.0 13.5 18.0 22.5 27.0 31.5 36.0 40.5 45.0
TRELIÇA DE AÇO
A
LT
U
R
A
 
 E
M
 
 M
E
TR
O
 -
 d
VÃO EM METRO - L
d
L
 
 
 
 
Nem sempre o fator econômico é o critério decisivo na escolha da altura 
conveniente. Outros critérios, inclusive estéticos, podem se impor; diagonais 
muito inclinadas aumentam o peso da treliça e provocam um comportamento 
inadequado da treliça. O ângulo de inclinação mais adequado deverá estar entre 
30º e 60º, sendo o ideal 45º. 
 
 
 
 
 
Em coberturas com estruturas metálicas o espaçamento mais econômico 
entre treliças é de 5,0 metros, podendo eventualmente ser aumentado para 6,0 
metros. No caso da madeira o espaçamento deve ficar entre 3,0 e 4,0 m. 
 
Apesar deserem mais econômicas que as vigas de alma cheia, as treliças 
resultam em alturas bem maiores, alcançando em certas condições o dobro da 
altura. Por isso, quando o projeto exigir limitação na altura da viga, pode-se optar 
pela viga de alma cheia para vãos maiores, apesar de mais caras. 
 
 
TE 40 
 
Viga vierendeel 
 
A viga vierendeel é, também, uma viga de alma vazada, como a treliça. Ela 
é, também, composta por barras que se encontram em nós. A viga vierendeel 
pode ser considerada uma “parente” da treliça, mas apresenta comportamento 
bastante diferente tendo em vista que a vierendeel não tem as diagonais. 
 
Comportamento 
 
 Apesar de, em princípio aparentar, uma viga vierendeel não é o conjunto 
de duas vigas, uma superior, apoiada em vários pilares e uma inferior que recebe 
a carga desses pilares e vence o vão total. Se assim fosse, a viga vierendeel não 
apresentaria vantagens, pois teria dimensões maiores, com custos mais elevados. 
 
Para entender o comportamento da viga vierendeel, observe as situações 
mostradas na figura 60. 
 
 
 
FIG 60 
 
 
 
 
Na primeira situação (a), ao se aplicar a força sobre a estrutura, apenas a viga 
superior se deforma, não transmitindo qualquer esforço de flexão para as demais 
barras, pois todos os nós são articulados. Os montantes verticais recebem 
apenas força de compressão. 
 
Na segunda situação (b), por serem os nós rígidos, a flexão da viga 
superior é transmitida aos montantes. Devido a resistência à deformação aplicada 
por eles à viga, sua deformação é menor que na primeira situação, sendo, 
portanto, menos solicitada. Neste caso tem-se o tradicional pórtico. Sendo os nós 
inferiores articulados, nenhum esforço de flexão é transmitido à viga inferior, mas 
apenas tração simples, devida à tendência de afastamento das pernas do pórtico. 
 
Na terceira situação (c) o nó inferior é enrijecido. Desta maneira a 
deformação dos montantes é diminuída devido a resistência oferecida pela viga 
inferior, logo, eles também ficam menos solicitados. Com isso os pilares passam a 
oferecer resistência maior ainda à deformação da viga superior, que fica menos 
solicitada ainda. Dessa maneira todas as barras ficam solicitadas, resultando num 
esforço máximo menor que em qualquer das situações anteriores. 
 
 
O aumento do número de montantes (d) faz com que as deformações 
sejam menores, deixando as barras menos solicitadas. A estrutura resultante é a 
viga vierendeel. Do raciocínio acima se pode concluir que, para existir uma viga 
vierendeel, é necessário que as barras que a formam sejam rigidamente ligadas 
nos nós. 
 
As barras horizontais da viga vierendeel recebem o nome de membruras e 
as verticais de montantes. Como pode ser visto na figura 60, as barras da 
membrura superior são solicitadas por compressão axial, momento fletor e força 
cortante. As barras da membrura inferior são solicitadas por tração axial, 
momento fletor e força cortante. Os montantes são solicitados por compressão 
axial, momento fletor e força cortante. 
 
Um outro modelo para explicar o comportamento da viga vierendeel parte 
da treliça, da qual se subtraem as diagonais. Com isso os retângulos formados 
pelos banzos e montantes, por terem os nós articulados, tornam-se instáveis e 
tendem a se transformar em losangos. Isso se deve ao efeito da força cortante 
longitudinal que tende a fazer escorregar o banzo superior em relação ao inferior. 
Esse efeito, na treliça, era absorvido pelas diagonais, que formando triângulos 
não permitiam a deformação do retângulo. Com a perda das diagonais uma outra 
forma de manter a figura retangular indeformada é enrigecendo seus nós. Ao se 
proceder dessa maneira, os retângulos tornam-se indeformáveis e a viga como 
um todo se estabiliza, resultado em um novo sistema estrutural: a viga vierendeel. 
Como a viga vierendel para se estabilizar desenvolve momento fletor em suas 
barras (devida à rigidez nos nós), ela é menos econômica que a treliça. Ver figura 
61. 
 
 
 
 
 
FIG 61 
 
 
Critérios de uso 
 
 A viga vierendeel é usada em situações em que se necessita de vigas com 
grandes aberturas em suas almas para possibilitar a passagem de tubulações ou, 
ainda, para permitir ventilação e iluminação do ambiente. 
Outros usos comuns de viga vierendeel são: 
 
a) Vigas de transição 
São vigas que transferem as cargas de pilares mais próximos para outros mais 
afastados. A viga de transição é normalmente localizada no primeiro pavimento 
do edifício. Em edifícios altos, a viga de transição pode chegar a ter a altura de 
um pé-direito. O uso da viga vierendeel, neste caso, permite que se crie 
iluminação e ventilação, viabilizando a utilização de mais um pavimento. Ver 
figura 62. 
 
 
 
 
FIG 62 
 
 
 
b) Vigas de passarelas 
Sustentam simultaneamente cobertura e piso.Ver figura 63. 
 
FIG 63 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
No caso da viga de passarela, a viga vierendeel torna-se uma viga alta capaz 
de vencer um grande vão, sem obstruir a passagem de iluminação e ventilação 
para dentro da passarela, tornando mais agradável sua travessia. 
 
c) Vigas que apresentam grandes alturas e precisam ser vazadas, 
Essa situação ocorre quando por questão funcional se desejam aberturas na alma 
da viga para passagem de tubulações, ventilação ou iluminação. Pode-se optar 
por essa solução quando se deseja seja diminuir o peso próprio da viga, ou, até 
mesmo, por questões estéticas. 
 
A forma dos vazios pode ser qualquer, inclusive circular, conforme mostra a 
figura 64. 
 
FIG 64 
 
 
 A segunda solução da figura 64 é a viga alveolar ou castelo. A viga 
vierendeel alveolar ou castelo é obtida a partir de cortes convenientemente 
executados em perfis “I” ou “H” e posterior soldagem. Ver figura 65. 
 
 
 
FIG 65 
 
 
Uma viga executada dessa maneira pode alcançar uma resistência bem 
maior que a original, sem alteração em seu peso próprio. 
 
Como já visto, a viga viereendel pode ser considerada uma parente da 
treliça. Na treliça as diagonais têm a função de evitar o deslocamento relativo 
entre o banzo superior e o inferior, devido ao efeito da força cortante. A figura 66 
mostra que o efeito da forção cortante varia ao longo do vão da viga, sendo maior 
junto aos apoios, onde os quadradinhos se deformam mais. 
FIG 66 
 
 
 
 
 
Por isso os montantes e as membruras são mais solicitados junto aos 
apoios. Se a intenção de projeto for aliar a forma da viga ao seu melhor 
desempenho estático-econômico, deve-se aumentar as dimensões dos elementos 
mais próximos dos apoios. Com isso, resulta que as aberturas deverão ser 
variáveis diminuindo do centro para os apoios da viga. Ver figura 67. 
 
FIG 67 
 
 
 
Pré dimensionamento 
 
a) Uso de fórmulas empíricas. Ver figura 68. 
 
FIG 68 
 
 
 
Para um melhor funcionamento, a viga vierendeel deve ter a distância entre 
montantes igual ou inferior a sua altura. Porém, admite-se, em caso extremo, uma 
distância igual a 1,5 da altura. 
 
 
b) Uso de gráfico. Ver figura 69 
 
FIG 69 
 
3.0
2.4
1.8
1.2
0.6
0 3.0 6.0 9.0 12.0 18.0 21.0 24.0 27.0 30.0
VIGA VIERENDEEL
A
LT
UR
A
 
EM
 
M
ET
RO
 -
d
VÃO EM METRO - L
15.0
d
L
d
 
 
 
 
TE 41 
 
Vigas de alma cheia 
 
 Denomina-se alma de uma viga, a parte vertical de sua seção. Chamam-se 
vigas de alma cheia aquelas que não apresentam vazios em sua alma. 
Provavelmente, as primeiras vigas de alma cheia utilizadas pelo homem foram 
troncos de árvores e devem ter sido “projetadas” na tentativa de constituir 
espaços totalmente aproveitáveis entre apoios e possibilitar a criação de um piso 
elevado. São as vigas mais comuns. 
Entretanto, ao lado da vantagem oferecida, em termos de aproveitamento de 
espaço, a viga é um dos elementos estruturais mais solicitados em termos de 
esforços, poisprecisa apresentar condições de transmitir aos apoios forças 
predominantemente verticais, através de um caminho geralmente horizontal. Ver 
figura 70 
 
FIG 70 
 
 
 
Esse “desvio” de 90° no caminho das forças exige muito da peça, o que 
acaba por gerar maiores dimensões de seção. 
 
 
 
 
 
Comportamento 
 
 Pode-se dizer, usando um modelo mais simplificado e visualmente mais 
inteligível, que as vigas são barras que quando carregadas transversalmente 
estão sujeitas a esforços de flexão: momento fletor e força cortante. Na verdade, 
o comportamento real de uma viga é mais complexo. O comportamento mais 
próximo do real pode ser imaginado como a existência de “arcos internos 
atirantados”, ou seja, tudo se passa como se dentro da viga existissem arcos 
comprimidos e tirantes tracionados. Na verdade são linhas sobre as quais estão 
localizadas as tensões principais de compressão e tração. Ao longo dessas 
localizam-se as tensões de intensidades iguais. Elas recebem o nome de linhas 
isostáticas. Pode-se fazer uma analogia entre as linhas isostáticas e as curvas de 
níveis topográficas. Nestas encontram-se os pontos de mesmo nível, naquelas as 
tensões de mesmo valor. A figura 71 mostra como se distribuem essas linhas. 
 
 
FIG 71 
 
 
Para efeitos práticos, todas as questões a serem discutidas neste item 
serão apoiadas no modelo simplificado, ou seja, o da ocorrência de momento 
fletor que provoca tração e compressão e o da força cortante que provoca 
deslizamentos longitudinais e transversais. 
 
 
 
 
Por convenção, quando o momento fletor provoca tração nas fibras 
inferiores ele é considerado positivo, caso contrário negativo. Ver figura 72. 
 
 
FIG 72 
 
 
 
Além do momento fletor, também ocorre na viga a força cortante que, como 
já se sabe, tende a provocar deslizamentos entre as seções horizontais e verticais 
da barra. Esses deslizamentos tendem a ocorrer ao mesmo tempo; como 
resultado, aparecem forças horizontais e verticais que se compõem em forças de 
compressão e tração inclinadas à 45º. Ver figura 73. 
 
FIG 73 
 
 
 
 
 
 
 
escorregamento 
horizontal
 
 
 
 
 
 
Critérios de uso 
 
 
 As vigas de alma cheia são mais pesadas que as treliças, mas por outro 
lado apresentam alturas menores. 
 Como já foi dito, em estruturas de aço as vigas de alma cheia são 
econômicas para vãos até 10 m, no caso de estruturas de madeira esse limite 
passa para 6 m. Isso não impede que, por outras razões, tais como altura 
estrutural ou rapidez de execução, se use vigas de alma cheia para vãos maiores. 
Há edifícios em que essas vigas vencem vãos de mais de 25 m. 
 
Conforme a quantidade de vãos e posição dos apoios, as vigas podem ser 
classificadas em vigas bi-apoiadas, com ou sem balanços e vigas contínuas com 
ou sem balanços. A figura 74 mostra exemplos destes tipos de vigas. 
 
 
 
 
 
 
 
FIG 74 
 
 
O uso de balanços, quando bem dosado, torna-se um aliado na diminuição 
dos esforços nas vigas. Existem relações apropriadas entre balanços e vãos 
centrais que tornam mínimo o esforço de flexão na viga. 
 
Para determinar a relação ideal entre balanços e vãos centrais imagine-se, 
inicialmente, uma viga bi-apoiada carregada com carga uniforme. Esta viga 
 
apresenta momentos fletores variáveis ao longo do vão, com seu máximo no 
meio. Se um dos apoios é empurrado na direção do centro do vão, criando um 
pequeno balanço, aparecem momentos negativos. É óbvio que esses momentos 
irão aliviar os momentos positivos ao longo do vão. Conforme se aumenta o 
balanço, cresce o momento negativo e diminui o positivo, até o ponto em que o 
momento negativo supera o positivo. A situação em que se tem o menor esforço 
de flexão na viga é quando o momento negativo é igual ao positivo. Esta situação 
ocorre quando se tem, aproximadamente, 5/7 do comprimento da viga como vão 
central e 2/7 como balanço. No caso de dois balanços essa situação ocorre 
quando se tem 1/5 do comprimento da viga nos balanços e 3/5 no vão central. Ver 
figura 75. 
 
FIG 75 
 
 
 
Pré dimensionamento 
 
a) Uso de fórmulas empíricas 
 
 
Vigas biapoiadas sem balanço. 
 
 
 
Vigas de aço e madeira: 
 h = 4 % do vão, para cargas pequenas 
 h = 5 % do vão, para cargas médias 
 h = 6% do vão, para cargas grandes 
 
Vigas de concreto: 
 h = 8 % do vão, para cargas pequenas 
 h = 10 % do vão, para cargas médias 
 h = 12 % do vão, para cargas grandes 
 
A ideia de pequena, média ou grande carga não tem limites precisos. Na 
dúvida usa-se o valor maior. Grosso modo, pode-se considerar como pequena 
carga a existência de laje apoiada apenas em um lado da viga e a inexistência de 
alvenaria. Carga média seria a existência de lajes nos dois lados da viga e de 
alvenaria. Pode-se considerar grande carga aquela que, além das lajes e 
alvenaria, apresenta cargas de outras vigas apoiadas sobre ela. 
 
A largura da viga deve variar entre 30 % e 60 % da sua altura. 
 
 
 
 
 
 
Vigas biapoiadas com balanços. 
 
 
 
Vigas de aço e madeira: 
 h = 8 % do balanço, para cargas pequenas 
 h = 10 % do balanço, para cargas médias 
 h = 12 % do balanço, para cargas grandes 
 
Vigas de concreto: 
 h = 16 % do balanço, para cargas pequenas 
 h = 20 % do balanço, para cargas médias 
 h = 24 % do balanço, para cargas grandes 
 
 Neste caso, verifica-se a altura da viga, tanto pelo vão quanto pelo balanço, 
utilizando as regras anteriores. Adota-se como altura da viga o maior dos dois 
valores. 
 
Caso seja interessante ou necessário, pode-se adotar alturas diferentes 
para balanço e vão central. Neste caso, apesar de economia de material, tem-se 
maiores dificuldades construtivas. 
 
A largura da viga segue o mesmo critério das situações anteriores. 
 
 
 
balanço vão 
 
 
Vigas contínuas sem balanço. 
 
 
Vigas de aço e madeira: 
 h = 3 % do vão maior, para cargas pequenas 
 h = 4 % do vão maior, para cargas médias 
 h = 5 % do vão maior, para cargas grandes 
 
Vigas de concreto: 
 h = 6 % do vão maior, para cargas pequenas 
 h = 8 % do vão maior, para cargas médias 
 h = 10 % do vão maior, para cargas grandes 
 
Quanto à largura prevalecem os valores adotados nos itens anteriores. 
 
Vigas contínuas com balanço. 
 
 
Vigas de aço e madeira: 
 h = 8 % do balanço, para cargas pequenas 
 h = 10 % do balanço, para cargas médias 
 h = 12 % do balanço, para cargas grandes 
 
 
 
Vigas de concreto: 
 h = 16 % do balanço, para cargas pequenas 
 h = 20 % do balanço, para cargas médias 
 h = 24 % do balanço, para cargas grandes 
 
Verifica-se a altura da viga pelo vão conforme item anterior e pelo balanço. 
Adota-se o maior valor. Para largura adotam-se as relações anteriores. 
 
b) Uso de gráficos 
 
1.5
1.2
0.9
0.6
0.3
0 3.0 6.0 9.0 12.0 15.0 18.0 21.0 24.0 27.0 30.0
VIGA DE AÇO
A
LT
U
R
A
 
 E
M
 
 M
E
TR
O
 -
 d
VÃO EM METRO - L
d
 
 
 
0.15
0 1.5 3.0 4.5 6.0 7.5 9.0 10.5 12.0 13.5 15.0
VIGA DE MADEIRA
A
LT
U
R
A
 
 E
M
 
 M
E
TR
O
 -
 d
VÃO EM METRO - L
0.30
0.45
0.60
0.75
d
 
 
0.30
0 1.5 3.0 4.5 6.0 7.5 9.0 10.5 12.0 13.5 15.0
VIGA DE CONCRETO
A
LT
U
R
A
 
 E
M
 
 M
E
TR
O
 -
 d
VÃO EM METRO - L
0.60
0.90
1.20
1.50
d
 
 
 
Passagem de tubulações em vigas 
 
Furos adequadamente localizados e de dimensões que não afetem o 
comportamento da viga poderão ser efetuados. Os furos circulares são 
preferíveis aos retangulares. Nos apoios os furos devem ser localizados do eixo 
 
 
 
longitudinal da viga para baixo, no meio do vão o furo deve se localizar junto à 
linha neutra. Desde que a altura do furo não ultrapasse a 1/6 da altura da viga não 
há necessidade de reforços. O comprimento dos furos não deve ultrapassar a 3 
vezes sua altura, sendo ideal ser inferior a duas vezes. Nos demaiscasos 
deverão ser previstos reforços. 
 
 
TE 42 
 
Pilares 
 
Como é sabido, a grande preocupação no trato com pilares, principalmente 
em estruturas de aço, encontra-se no fenômeno da flambagem. Um bom projeto 
pensa no adequado travamento dos pilares, com vigas e contraventamentos. É 
também importante considerar a direção em que se coloca o pilar, para que sua 
direção mais rígida coincida com aquela em que o travamento é menos eficiente. 
 
Pré dimensionamento 
 
a) Uso de fórmula empírica 
 
Concreto: Área da seção = P / 100 ( cm² ) 
 
Aço: Área da seção = P / 700 ( cm² ) 
 
Madeira: Área da seção = P / 60 ( cm² ) 
 
 
 
 
 
Onde: 
 Área da secção seção: área necessária para a seção do pilar em cm² 
 
 P: carga atuante no pilar em kgf. 
 
Para a determinação da carga P, atuante no pilar, usa-se o processo da 
área de influência. Área de influência é a área de carga hipoteticamente 
depositada em cada pilar. Para determiná-la parte-se do fato de que dois pilares 
contíguos recebem, cada um, uma parcela de carga proporcional a metade da 
distância entre eles. Portanto a área de influência é determinada pelos 
comprimentos correspondentes a metade das distâncias entre os pilares em 
ambas as direções. Ver figura 76. 
 
FIG 76 
 
 
 
Para determinar a carga que incide sobre os pilares multiplicam-se suas 
respectivas áreas de influência por uma carga hipoteticamente distribuída sobre 
toda a área do edifício. Essa carga engloba as cargas de peso próprio, 
sobrecargas e alvenarias. Os valores dessa carga são: 
 
 
 
 
d) Para piso = 800 kgf / m² (concreto); 600 kgf / m² (aço e madeira) 
 
e) Para cobertura = 600 kgf / m² (concreto); 400 kgf / m2 (aço e madeira) 
 
Os valores acima são as médias obtidas nas edificações, podendo ser 
aumentados ou diminuídos em casos especiais, e conforme nosso bom senso 
recomendar. 
 
Quando o edifício for alto, a carga devida a área de influência, em cada 
pavimento, deverá ser multiplicada pelos números de pavimentos acima do pilar. 
Resumindo a determinação da carga em um pilar qualquer é dada por: 
 
 P = ( Ainf X qpiso ) x n + Ainf x qcob 
 Onde : 
P: carga no pilar 
 Ainf: área de influência do pilar 
 n: número de pavimentos 
 
 
b) Uso de gráfico. Ver figura 77 
 
FIG 77 
 
 
50
40
30
20
10
0 5 10 15 20 30 35 40 45 50
PILARES METÁLICOS
(vários andares)
NÚMERO DE ANDARES APOIADOS - N
25
60
70
LA
R
G
U
R
A
 
 E
M
 C
M
 -
 d
d
 
 
50
40
30
20
10
0 1.5 3.0 4.5 6.0 9.0 10.5 12.0 13.5 15.0
PILARES METÁLICOS
(andar único)
ALTURA NÃO TRAVADA EM METRO - H
7.5
60
70
d
LA
R
G
U
R
A
 
 
E
M
 
 
C
M
 
 -
 
 d
 
 
Verificação à flambagem 
Verificação ao carregamento 
 
25
20
15
10
5
0 1 2 3 4 5
PILARES DE MADEIRA
(vários andares)
NÚMERO DE ANDARES APOIADOS - N
30
35
E
S
P
E
SS
U
R
A
 
E
M
 
C
M
 -
 d
d
 
 
50
40
30
20
10
0 1.5 3.0 4.5 6.0 9.0 10.5 12.0 13.5 15.0
PILARES DE MADEIRA
(andar único)
ALTURA NÃO TRAVADA EM METRO - H
7.5
60
70
E
SP
E
SS
U
R
A
 
 E
M
 
C
M
 -
 d
d
 
 
Verificação à flambagem 
Verificação ao carregamento 
 
75
60
45
30
15
0
PILARES DE CONCRETO
(vários andares)
NÚMERO DE ANDARES APOIADOS - N
90
105
LA
R
G
U
R
A
 
E
M
 
C
M
 
- 
d
d
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 
 
75
60
45
30
15
0 1.5 3.0 4.5 6.0 9.0 10.5 12.0 13.5 15.0
PILARES DE CONCRETO
(andar único)
ALTURA NÃO TRAVADA EM METRO - H
7.5
90
105
LA
R
G
U
R
A
 
 E
M
 
C
M
 -
 d
d
 
 
Deve-se adotar a maior dimensão obtida entre a verificação ao carregamento e à 
flambagem. 
 
Verificação à flambagem 
Verificação ao carregamento