Material de Estudo - Modulo 5

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PARTE 3 
 
ASSOCIAÇÕES DE SISTEMAS ESTRUTURAIS BÁSICOS 
 
 
Nos itens anteriores foi analisado o que se denominou sistemas estruturais 
básicos, tais como o arco, o cabo, a treliça, a viga de alma cheia, a viga 
Vierendeel e o pilar. Esses sistemas, na verdade, não ocorrem isoladamente 
nas estruturas; eles sozinhos não constituem uma estrutura completa. É óbvio 
que uma viga, seja de alma cheia, treliçada ou Vierendeel, para constituir uma 
estrutura, necessita de pelo menos um pilar. Isso, por sí só, é uma associação. 
Mínima, é verdade, mas é uma associação necessária para que se constitua 
uma estrutura completa. Por sua vez o pilar sozinho, também, não constitui 
uma estrutura completa, logo, deixa de ter sentido. 
 É a associação adequada dos sistemas estruturais básicos, em 
quantidade, forma e processo, que dá sentido à estrutura e em consequência à 
arquitetura. Essas associações ocorrem como resultado natural da concepção 
arquitetônica: das funções, dos espaços e intenções formais. A criação de 
linhas e planos que se harmonizam na criação das formas arquitetônicas e que 
se integram ao meio em que se inserem, está intimamente ligada às 
possibilidades de associações entre os sistemas estruturais básicos. 
 
 
TE 43 
 
 
 
 
ASSOCIAÇÃO CABO X CABO 
 
Malhas de cabos 
 
Comportamento 
 
 
Como já foi visto, o cabo é um sistema básico que devido à sua grande 
flexibilidade adquire para cada tipo de carregamento uma determinada forma. 
Isso implica na grande instabilidade formal dos cabos. Viu-se, também, que 
para se enrijecer o cabo é necessário aplicar-lhe, previamente, uma 
determinada tensão. Essa tensão pode ser aplicada por um pré esticamento do 
cabo ou por um determinado carregamento, que o solicite de maneira que se 
mantenha rígido. 
As associações cabo x cabo são normalmente utilizadas para dar aos cabos 
rigidez necessária para que possam manter a configuração desejada, qualquer 
que seja o carregamento. A figura 78 mostra uma primeira maneira de se obter 
a rigidez de um cabo utilizando a associação com outro. O cabo superior é 
enrijecido por um cabo inferior ao qual é aplicada uma força de tração. Essa 
força é transmitida ao cabo superior por uma série de cabos verticais que ligam 
os dois. Assim, o cabo superior passa a ser tensionado garantindo-lhe rigidez 
necessária. Denomina-se cabo sustentante àquele que recebe diretamente as 
cargas externas, no caso o cabo superior, e de cabo estabilizante àquele que 
enrijece o primeiro, no caso o cabo inferior. A rigidez desse conjunto só ocorre 
no plano em que se encontram os cabos, pois qualquer força transversal tende 
a deslocá-los com facilidade. 
 
 
 
 
Fig 78 
 
TE 44 
 
A figura 79 mostra uma maneira de enrijecer o cabo portante em duas 
direções. Para isso basta que um cabo estabilizante cruze ortogonalmente o 
cabo sustentante, de forma que este seja fixado em pontos altos, e o 
estabilizante em pontos baixos. 
 
Parte do texto referente - Vidoaulas/Parte 1: Vídeos: V2 – V4 –V5 – V6 
 
FIG. 79 
 
 
 
cabo sustentante
cabos verticais
cabo estabilizante
cabo sustentante
cabo estabilizante
 
 O enrijecimento dado ao cabo sustentante por um único cabo não é 
perfeito. A aplicação de uma carga fora do ponto de cruzamento pode 
provocar, ainda, grande deformação, como pode ser visto pela figura 80. 
 
FIG. 80 
 
 
 
 Para melhorar a condição de rigidez devemos utilizar maior quantidade 
de cabos estabilizantes, como mostra a figura 81. 
 
 
FIG. 81 
 
 
 
posição deformada
posição original
F
 
 Por uma questão de espaço, evita-se que cada cabo estabilizante tenha 
seu ponto de fixação junto ao solo, utilizando-se para isso um cabo periférico 
que os fixará. Para criar rigidez nos cabos estabilizantes, na direção ortogonal 
aos seus planos é usado um segundo conjunto de cabos que se tornam 
estabilizantes dos estabilizantes. Note-se que com isso criou-se uma superfície 
em forma de sela de cavalo; essa é uma das formas fundamentais da 
associação cabo x cabo que apresenta rigidez em todas as direções. Ver figura 
82. 
 
FIG. 82 
 
 
 
 Da observação da figura 82 podem-se tirar alguns critérios para 
obtenção de condições mínimas de associações cabo x cabo: 
 a) Deve haver no mínimo quatro pontos de fixação. 
 b) O conjunto de cabos deve manter a ortogonalidade da malha, 
condição fundamental. 
 c) Os cabos sustentante e estabilizantes devem ter curvaturas 
opostas. 
 d) Os cabos periféricos deverão ter a forma funicular das reações 
dos cabos da malha sobre eles. 
 
cabo periférico
 
 Uma segunda possibilidade de utilização de associação de cabos, 
derivada dessa condição mínima, é a utilização de cabos de vale e cabos de 
cristas. Ver figura 83. Neste caso os cabos estabilizantes do cabo superior, são 
denominados cabos de crista, estes, por sua vez, são fixados inferiormente 
em outros cabos, os cabos de vale. Nesta associação, os cabos de cristas são 
os que suportam as cargas gravitacionais e os cabos de vale as cargas de 
sucção de vento. Notar que as condições mínimas são satisfeitas: 
ortogonalidade e curvaturas opostas entre os cabos sustentantes e 
estabilizantes. Curvaturas opostas ocorrem, também com os cabos de crista e 
de vale. 
FIG. 83 
 
 Uma terceira possibilidade é a distribuição radial dos cabos portantes de 
forma que o centro seja mais alto que as extremidades. Esses cabos são 
estabilizados por cabos anelares. Ver figura 84. 
 
FIG. 84 
 
 
 
 
 
 
 
 
As condições mínimas são satisfeitas. Essa solução apesar de radial 
pode cobrir espaços quadrados, bastando para isso que os cabos radiais sejam 
fixados inferiormente num cabo de vale, como mostra a figura 85. 
 
FIG. 85 
 
 As mesmas considerações feitas para malhas de cabos podem ser 
estendidas para as lonas, que afinal de contas é uma malhas com cabos muito 
próximos. A maneira mais adequada de se determinar a forma final, tanto das 
malhas de cabos, como das lonas é através de um modelo físico. 
 
Pré dimensionamento 
 
O pré dimensionamento de malhas de cabos pode ser realizado usando os 
mesmos critérios usados para cabos isolados, exceto no que se refere a 
flechas, visto que estas são determinadas em função da arquitetura e sua 
forma final resolvida pelo uso de modelos físicos. 
 
Parte do texto referente: Videoaulas/Parte 1: V8 – V9 – V10 - V11 – V14 – 
V16 – V17 
Imagens Img1 a img4 
cabo de vale
cabo 
de vale
 
 
TE 45 
 
ASSOCIAÇÃO CABO X PILARES 
 
 
Tensegrity 
 
Comportamento 
 
 
O tensegrity é uma associação composta por barras rígidas e cabos. O 
tensegrity foi inventado pelo artista plástico Kenneth Snelson, quando 
trabalhava com Buckminster Füller. 
A palavra tensegrity é uma abreviação das palavras inglesas integer tension, o 
que em uma tradução mais livre pode ser tração integrada. Essa denominação 
expressa bem uma das propriedades desse sistema: nele, barras rígidas 
comprimidas isoladas são interligadas por cabos contínuos tracionados. Uma 
outra propriedade muito interessante desse sistema estrutural é que quaisquer 
que sejam as direções e intensidades das solicitações de carregamento, o 
conjunto se comporta da mesma forma não havendo inversão nos esforços de 
compressão e tração das barras. 
 Grosso modo, o tensegrity pode ser assimilado a uma bexiga de ar, na 
qual as barras rígidas fazem o papel da pressão de ar e os cabos, o da 
membrana. Em uma bexiga, quanto maior for a pressão interna, ou mais 
esticada estiver a membrana, mais estável e resistente ela será quando 
submetida a um carregamento externo. No tensegrity ocorre algo semelhante: 
quanto mais esticados estiverem os cabos, ou seja, mais tracionados, mais 
estável ele será. 
A figura 86 mostra algumas possibilidades básicas do tensegrity. 
 
 
FIG 86 
 
 
 
O tensegrity pode ser usadona construção de torres e coberturas. As 
torres atuais feitas com esse sistema podem alcançar até 30 m de altura, e as 
coberturas alcançam vãos de valores semelhantes. Ver figura 87. 
 
FIG 87 
 
 
 
 
Needle Tower de Kenneth Snelson (1968) 
fonte: http://en.wikipedia.org/wiki/Tensegrity 
 
 
 
http://www.squid-labs.com/projects/tensegrity/index.html
 
Pré dimensionamento 
 
Para efeito de pré dimensionamento das barras do tensegrity, podemos 
usar para as barras rígidas o mesmo gráfico usado para pilares no que se 
refere à dimensão mínima para flambagem. Para os cabos não há pré 
diimensionamento. 
 
Parte do texto referente: Videoaulas/ Parte 1: V18 – V19 – V20 
 
Imagens: img6 – img7 
 
 
TE 46 
 
ASSOCIAÇÃO CABO X VIGA DE ALMA CHEIA 
 
Viga Vagão 
 
A viga vagão consiste na associação entre uma viga de alma cheia e um 
cabo. A viga vagão também recebe o nome de viga armada. Ver figura 88. 
 
FIG 88 
 
 
 
 
cabo
montante
viga
viga
cabo
 
 
O nome “viga vagão” origina-se do fato de ter sido, esse sistema, muito 
utilizado para sustentar vagões de trem. 
Comportamento 
 
Uma maneira bastante simples de explicar o comportamento da viga 
vagão é interpretá-la como uma viga cujo vão é diminuído pela colocação dos 
montantes, que em lugar de se apoiarem no piso, apoiam-se em um cabo, que 
vence o vão total. Sabe-se que o cabo assim solicitado aplica nos apoios 
cargas horizontais (empuxos). Esses esforços são absorvidos pela própria viga, 
resultando nos apoios apenas forças verticais. A viga vagão pode ser 
entendida como o inverso de uma viga pênsil. Nesta, os montantes são 
trocados por cabos que se apóiam no cabo principal. Na viga pênsil o empuxo 
é absorvido pelos pilares ou por cabos fixados na fundação. Ver figura 89. 
FIG 89 
 
 
A viga vagão pode ter um ou mais montantes. É importante observar que 
conforme mude a posição ou quantidade de montantes, muda também a forma 
do cabo. Como os montantes são cargas concentradas aplicadas ao cabo, este 
apresentará sempre a forma funicular dessas cargas. Ver figura 90. 
 
 
 
 
 
FIG 90 
 
 
 Uma viga vagão com três montantes cujo cabo seja um trapézio não se 
comporta adequadamente. O resultado será o mesmo de uma viga com dois 
montantes. Ver figura 91. 
 
FIG 91 
 
 
 
Pré dimensionamento 
 
a) Uso de fórmula empírica. Ver figura 92. 
 
 
FIG 92 
 
 
b) Uso de gráfico. Ver figura 93. 
 
FIG 93 
 
 
 
 
Obs.: Pode-se usar o mesmo gráfico para a madeira. 
 
Parte do texto referente: Videoaulas/ Parte 1: V22 – V23 – V25 – V26 
Imagens: img8 a img10 
 1.5
 1.2
 0.9
 0.6
 0.3
0 4.5 9.0 13.5 18.0 22.5 27.0 31.5 36.0 40.5 45.0
A
LT
U
R
A
 
 E
M
 
 M
E
TR
O
 -
 D
VÃO EM METRO - L
VIGA VAGÃO - AÇO -
D
L
 
 
TE 47 
 
ASSOCIAÇÕES ARCO X ARCO 
 
Abóbada 
 
Comportamento 
 
 
A abóbada é uma associação de arcos locados paralelamente e infinitamente 
próximos gerando uma casca denominada abóbada. 
Se fizermos dois corte em planos ortogonais em um deles teremos uma curva 
que pode ser uma parábola ou semi círculo. No outro plano teremos uma reta. 
Essa superfície é denominada de simples curvatura. Ver figura 94. 
 
FIG 94 
 
 
 
 
 
 
A abóbada quando apoiada em toda sua base não apresenta novidades, 
pode ser considerada uma série de arcos independentes. 
A solução em abóbadas torna-se mais interessante quando ela apoia-se 
em apenas quatro pontos. Nesse caso a abóboda apresenta duplo 
comportamento, como arco na transversal e como uma viga de secção semi 
tubular na direção longitudinal. Ver figura 95 
 
FIG 95 
 
 
 
Para melhor comportamento da abóbada na direção longitudinal, 
evitando seu “achatamento” durante a flexão, devem ser previstos 
enrijecedores transversais, denominados tímpanos. Ver figura 96. 
 
 
 
 
 
compressão
tração
compressão
carregamento
tração
 
FIG 96 
 
 
 
Pré dimensionamento 
 
a) Uso de fórmula empírica. 
 
Espessura = 0,2 % do vão transversal. 
 
b) Uso de gráficos Ver figura 97 
 
FIG 97 
 
 
viga
arco
parede 
tímpano
 7.5
 6.0
 4.5
 3.0
 1.5
0 6.0 12.0
6.25
18.0 24.0
7.5
30.0 36.0 42.0 48.0
10.0
54.0 60.0
A
LT
U
R
A
 
 E
M
 
 M
E
TR
O
 -
 D
ESPESSURA EM CM - T
VÃO EM METRO - L
ABÓBADAS MÚLTIPLAS
CONCRETO
L
D
T
 
 
 
 
 
Parte do texto referente: Videoaulas/Parte 1: V28 – V29 – V30 – V31 – V32 
 
Imagens: img11 a img13 
 
 
 
Cúpula 
 
Comportamento 
 
 
A cúpula é resultado da associação arco x arco que giram em torno de um 
eixo. 
A cúpula de arcos cruzados discretizados, necessita de um anel central 
de compressão para acomodar os diversos arcos. Um anel inferior ou a própria 
15.0
12.0
 9.0
 6.0
 3.0
0 3.0 6.0
20.0
9.0 12.0
30.0
15.0 18.0 21.0 24.0
40.0
27.0 30.0
A
LT
U
R
A
 
 E
M
 
 M
E
TR
O
 -
 H
ESPESSURA EM CM - T
VÃO EM METRO - L
ABÓBADA DE ALVENARIA
L
H
T
 
fundação deverá receber os empuxos dos arcos. O anel central pode, também, 
servir como elemento de iluminação zenital. Ver figura 98. 
 
FIG 98 
 
Quando os arcos, associados dessa maneira, encontram-se infinitamente 
próximos geram uma casca de dupla curvatura. Se forem feitos dois cortes em 
planos ortogonais tem-se curvas com centros voltados para baixo. Superfícies 
desse tipo são denominadas superfícies sinclásticas. Nessa casca, os arcos 
verticais são denominados meridianos e os anéis horizontais de paralelos. Ver 
figura 99. 
 
 
FIG 99 
 
 
anel central
arco
arcos meridianoscírculos paralelos
H
V
 
Nas cúpulas, os meridianos sempre trabalham a compressão, como 
qualquer arco. Já os paralelos podem trabalhar a compressão ou tração 
dependendo do ângulo de abertura da cúpula. Os paralelos que se encontram 
acima de um ângulo de abertura de aproximadamente 104o trabalham a 
compressão, os que estão abaixo trabalham a tração. Ver figura 100 
 
FIG 100 
 
 
Portanto, se quisermos construir uma cúpula com um material que 
trabalhe melhor a compressão, como tijolos ou pedras, projetamos a cúpula 
com altura que corresponda a abertura de 104o. Ver figura 101. 
 
 
 
 
FIG 101 
porção que 
diminui de 
tamanho
posição do 
círculo antes 
do carregamento
compressão
porção que 
aumenta
de tamanho52
0
52
0
tração
 
 
 
Pré dimensionamento 
 
a) Uso de fórmulas empíricas 
Para concreto: espessura = 0,2 % do vão 
Para alvenarias: espessura = 2 % do vão 
 
b) Uso de gráficos. Ver figura 102. 
 
FIG 102 
 
 
104
0
cúpula com 
compressão 
nos paralelos 
e meridianos
15.0
12.0
 9.0
 6.0
 3.0
0 9.0 18.0
5.0
27.0 36.0
7.5 10.0
45.0 54.0 63.0 72.0
12.5
81.0 90.0
A
LT
U
R
A
 
 E
M
 
 M
E
TR
O
 -
 H
ESPESSURA EM CM - T
VÃO EM METRO - L
CÚPULA CONCRETO
H
L
T
 
 
 
 
Parte do texto referente: Videoaulas/Parte 1: V33 – V35 
 
Imagens: img14 – img15 
 
TE 48 
 
Cúpula Geodésica 
 
Comportamento 
 
A associação geodésica parte da disposição dos arcos segundo curvas 
geodésicas. Denomina-se curva geodésica a curva de menor comprimento 
sobre uma esfera. Assim sendo os arcos segundo as geodésicas encontram-se 
dispostos segundo o menor caminho das forças e, portanto, menos solicitados 
que em outra posição qualquer, daí resultando estruturas muito leves. Na 
prática a associação geodésica não é formada por arcos verdadeiros, mas por 
30.0
24.0
18.0
12.0
 6.0
0 6.0 12.0 18.0 24.0
60.0+-
30.0 36.0 42.0 48.0 54.0 60.0
A
LT
U
R
A
 
 E
M
 
 M
E
TR
O
 -
 H
ESPESSURA EM CM - T
VÃO EM METRO - L
CÚPULA DE ALVENARIA
H
T
L
 
segmentos de barras. Teoricamente os arcos só ocorrem quando o número de 
barras for infinitamente grande. Ver figura 103. 
 
 
 
 
 
 
 
FIG 103 
 
 
 Para a formação das geodésicas parte-se de poliedros que podem ser 
inscritos ou circunscritosnuma esfera. O mais comum desses poliedros é o 
icosaédro, poliedro de 20 faces. Ver figura 104. 
 
Dividindo-se as faces do icosaédro, que formam triângulos equiláteros, 
em outros triângulos, e projetando-se os vértices obtidos sobre uma esfera, que 
circunscreva o icosaédro, são obtidos sólidos com maior número de vértices, 
tornado-os cada vez mais próximos da esfera. Denomina-se frequência da 
geodésica ao número de vezes em que se divide as faces triangulares do 
icosaédro inicial. Ver figura 104. A estrutura assim formada é composta por 
barras que se desenvolvem segundo linhas geodésicas, organizadas segundo 
 
pentágonos e hexágonos. As barras dessa estrutura estão sujeitas a forças de 
tração e compressão simples. 
 
FIG 104 
 
 
 
 
 O grande problema das estruturas geodésicas é a forma de vedá-las. 
Devido à sua leveza são muito sujeitas a movimentações, o que pode provocar 
problemas nos materiais de vedação. Os materiais mais usados para vedação 
são: a madeira, alumínio e lonas. 
 Para a execução das barras das geodésicas podem ser usados 
materiais como o aço, a madeira e o alumínio. 
Pré dimensionamento 
 
linha geodésica
para icosaedro
freqüência 2
lado do 
pentágono
uma das faces
do icosaedro
lado do hexágono
1
2
3
4
5
6
3
2
 
O pré dimensionamento da geodésica se refere à determinação da altura 
da geodésica e dos comprimentos aproximados das barras. Esse pré 
dimensionamento é feito através do gráfico da figura 105. 
 
FIG 105 
 
 
Parte do texto referente: Videoaulas/Parte 2: V1 – V2 – V3 
 
Imagens: img16 a img19 
 
TE 49 
Parabolóide hiperbólico 
 
Comportamento 
 
O parabolóide hiperbólico é uma superfície de dupla curvatura opostas, 
gerada por arcos parabólicos com concavidades opostas. Um dos arcos 
funciona como diretriz e o outro como geratriz da superfície. A superfície assim 
30.0
24.0
18.0
12.0
6.0
0 15.0 30.0
0.6
45.0
1.2
60.0
1.8
75.0 90.0
2.4
105.0 120.0
3.0
135.0 150.0
A
LT
U
R
A
 
 E
M
 
 M
E
TR
O
 -
 H
COMPRIMENTO DA PEÇA EM METRO - l
VÃO EM METRO - L
GEODÉSICA
AÇO
ALUMÍNIO
H
L
l
 
gerada assemelha-se a uma sela de cavalo. Fazendo cortes em planos 
ortogonais nessa superfície obtemos parábolas com centros de lados opostos. 
Superfícies desse tipo são denominadas superfícies anticlásticas. Ver figura 
106. 
 
FIG 106 
 
Fazendo um corte com um plano horizontal obtemos uma hipérbole. Dái o 
nome de superfície em paraboloide (gerado por parábolas) hiperbólico. Ver 
figura 107. 
 
FIG 107 
 
o parabóloide hiperbólico apresenta uma propriedade interessante, a 
superfície pode ser gerada a partir de retas reversas. Essa propriedade faz 
com que uma superfície aparentemente tão livre possa ser executada com 
facilidade com os elementos retos metálicos e de madeira. Ver figura 108. 
 
FIG 108 
parábola
parábola
hipérbole
parábola
parábola
hipérbole
 
 
 
 
 Se secionarmos a superfície com quatro planos a 45o, obtemos a mais 
conhecida forma do paraboloide hiperbólico. Ver figura 109. 
 
FIG 109 
 
 
 Especial atenção deve ser dada às bordas, que deverão ser mais 
rígidas que as barras internas para garantir estabilidade ao conjunto. Esse tipo 
de estrutura torna-se mais fácil de ser executada se as barras forem tubulares 
circulares, o que facilita os pontos de tangência. Essas estruturas podem 
vencer vãos de até 40 m. 
 
 
Pré dimensionamento 
 
 O gráfico de pré dimensionamento apresentado na figura 110, indica, em 
função do vão, a altura necessária e a espessura da casca. 
 
 
FIG 110 
 
 
Parte do texto referente: Videoaulas/Parte 2: V6 – V7 – V8 
 
Imagens: img20 a img23 
 
 
TE 49 A 
 
ASSOCIAÇÃO TRELIÇA X TRELIÇA 
 
Treliças espaciais 
 
Antes de tudo, é importante conceituar o que são estruturas planas e 
espaciais. Na verdade todas as estruturas se desenvolvem no espaço, logo 
seriam todas espaciais. As estruturas são calculadas a partir de modelos 
físicos escolhidos pelo projetista e que melhor interpretem o comportamento 
real. A determinação dos esforços é feita através da tradução do modelo físico 
 7.5
 6.0
 4.5
 3.0
 1.5
0 6.0 12.0
7.5 10.0
18.0 24.0 30.0 36.0 42.0 48.0 54.0 60.0
H
A
LT
U
R
A
 
 E
M
 
 M
E
TR
O
 -
 H
ESPESSURA EM CM - T
VÃO EM METRO - L
PARABOLOIDE HIPERBÓLICO
CONCRETO
H
L
 
para um modelo matemático que melhor o descreva. Esse procedimento 
chama-se análise estrutural. 
O melhor modelo será aquele que descreva bem o comportamento real e 
que resulte em um modelo matemático simples. 
 
Um conjunto de vigas e pilares em um edifício pode ser analisado como 
um único pórtico espacial ou como uma série de elementos planos isolados. 
Ver figura 111. 
 
FIG 111 
 
Na figura 111 a viga V5 pode ser analisada como um elemento plano, que 
se apoia nas vigas V2 e V3; a viga V2 como outro elemento plano que se apoia 
nas vigas V4 e V6; a viga V3 apoiando-se nos pilares P3 e P4, e assim por 
diante. Ou seja, existe uma hierarquia. Esse modelo é muito mais simples que 
o que considera todo conjunto como pórtico espacial. No caso do modelo 
espacial não existe essa hierarquia, os elementos estruturais, vigas e pilares, 
trabalham em conjunto. O modelo espacial é mais próximo da realidade, mas 
mais complexo. Nos vãos e carregamentos usuais o modelo plano é 
plenamente aceitável. Os “erros” de precisão não prejudicarão o 
comportamento da estrutura e não resultarão em maiores custos. 
 
 
Existem situações em que o uso de um modelo plano no lugar de um 
espacial foge muito da realidade, resultando em mau comportamento da 
estrutura e levando a uma solução anti-econômica. É o caso da treliça espacial 
onde só admite o modelo espacial. 
 
Em uma cobertura, concebida como modelo plano, as treliças (tesouras) 
são os elementos estruturais principais que vencem o vão principal 
depositando as cargas nos pilares. Entre as treliças existem outras vigas, as 
terças, que apoiam as telhas e transmitem suas cargas para as treliças. Neste 
caso estuda-se a estrutura como modelo plano: terças num plano, treliças 
principais em outro. Quando, por alguma razão, a distância entre treliças 
aumenta, aumentam também as dimensões das terças. Neste caso passa a ser 
mais econômico o uso de terças treliçadas. A partir daí o modelo plano começa 
a ser desvantajoso do ponto de vista econômico. Opta-se, então, por um 
modelo espacial: a treliça espacial. 
A possibilidade de disposição de pilares é o fator principal que leva ao uso 
de uma treliça plana ou espacial. Ver figura 112. 
 
Fig 112 
 
 
 
 
Comportamento 
 
Grosso modo, a treliça espacial pode ser assimilada a uma placa sem 
vigas periféricas, discretizada, ou seja, composta por barras. 
Sabe-se que uma placa, quando apoiada em pilares em sua borda, 
flexiona, apresentando compressão na face superior, tração na inferior e 
tendência de escorregamento de suas fatias horizontais (cisalhamento). 
Imagine um maço de folhas de papel. Na treliça espacial, as barras dispostas 
nos planos superiores e inferiores absorvem compressão e tração 
respectivamente. As barras inclinadas, por sua vez, absorvem o efeito de de 
escorregamento, ou seja cisalhamento. 
 
Para atender as condições acima a treliça espacial é composta de barras 
articuladas nos nós, dispostas em duas direções. Nos planos, superior e 
inferior as barras podem ser dispostas de qualquer maneira. As barras que 
ligam esses planos, para poderem absorver adequadamente o efeito de 
cisalhamento, devem formar triângulos, daí esse sistema estrutural ser da 
família das treliças. 
 
Tipos de treliças espaciais 
 
 
Ao se projetar uma treliça espacial uma preocupação importante é com o 
aspecto construtivo. Por isso procura-se usar o mínimo de barras diferentes. A 
solução mais simples é o uso de um módulo composto a partir de prismasregulares, o que leva aos mais simples deles: prisma triangular, tetraedro e 
pirâmide de base quadrada. 
 
 a) Sistemas compostos por pirâmides de base quadrada ou retangular. 
Esta é a solução mais comum. Ver figura 113. 
 
 
 
 
 
 
 
 
FIG 113 
 
 
 Soluções mais criativas podem ser propostas. Nos casos vistos na figura 
113, os planos horizontais resultam sempre preenchidos de triângulos ou 
quadrados, no entanto existem 32 maneiras diferentes de preencher um plano 
com polígonos regulares. A figura 114 mostra algumas dessas maneiras. Essas 
 
soluções fogem do comum, com resultados estéticos muito interessantes. 
Infelizmente são pouco exploradas. 
 
FIG 114 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Um dos problemas mais importante da treliça espacial é a concepção 
dos nós, que está diretamente ligada às questões construtivas. O mercado 
oferece algumas soluções patenteadas, sendo as mais comuns: a que usa uma 
esfera onde os tubos são rosqueados (Sistema Mero) e a que usa um conjunto 
de chapas onde os tubos são fixados após terem as pontas amassadas 
(Sistema Mdeck). Ver figura 115. 
 
FIG 115 
 
 Sistema Mdeck 
 
 
 Sistema Mero 
 
 
 
 Os perfis utilizados nas barras das treliças espaciais são 
predominantemente tubulares de seção circular. No entanto existem algumas 
soluções com cantoneiras duplas usadas na tentativa de criar um nó mais 
simples. 
 
Pré dimensionamento 
 
a) Uso de fórmulas empíricas 
Pode-se adotar como altura da treliça espacial o seguinte valor: 
 
 
Onde: L = espaçamento maior entre pilares 
 I = espaçamento menor entre pilares 
 
b) Uso de gráfico. Ver figura 116 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FIG 116 
 
 
 
 
Parte do texto referente: Videoaulas/Parte 2: V9 – V10 – V11 – V12 – V13 – 
V15 – V16 – V17 – V18 
 
Imagens: img24 a img26 
 
TE 50/TE 51 
 
ASSOCIAÇÃO VIGA DE ALMA CHEIA X VIGA DE ALMA CHEIA 
 
Grelha 
 
Comportamento 
 
 Quando duas vigas se cruzam fora de um pilar, temos duas 
possibilidades de análise uma plana, considerando uma hierarquia, ou seja, 
uma viga apoiando-se em outra e assim por diante, como já comentado 
anteriormente. Outra possibilidade de análise, modelo espacial, é 
15.0
12.0
 9.0
 6.0
 3.0
0 15.0 30.0 45.0 60.0 75.0 90.0 105.0 120.0 135.0 150.0
A
LT
U
R
A
 
 E
M
 
 M
E
TR
O
 -
 D
VÃO EM METRO - L
TRELIÇA ESPACIAL
AÇO E ALUMÍNIO
L
D
 
desconsiderar essa hierarquia e supor as duas vigas trabalhando juntas. Para 
melhor compreender a relação entre vigas que se cruzam vamos, em uma 
primeira análise, supor que as duas vigas tenham as mesmas seções e vãos 
diferentes. Vamos supor, também, que uma carga P seja aplicada no ponto de 
encontro das vigas, e que, em princípio, considere-se cada uma das vigas 
recebendo metade da carga aplicada. 
Se as vigas não estivessem interligadas e pudessem trabalhar 
independentemente, a viga de vão maior deformaria mais que a viga de vão 
menor. Entretanto, como as vigas têm em comum o ponto de cruzamento, as 
deformações das vigas nesse ponto deverão ser, obrigatoriamente, iguais: nem 
tão grande como a da viga de vão maior e nem tão pequena como a da viga de 
vão menor, mas um valor intermediário. Tudo se passa como se a viga de vão 
maior fosse aliviada e a de vão menor fosse sobrecarregada. Ver figura 117. 
 
FIG 117 
 
 
 
No modelo plano poderia ser pensado assim: 
 
Esse efeito de alívio e sobrecarregamento vai ficando cada vez mais 
evidente conforme cresça a diferença entre os vãos, de tal maneira que a partir 
de uma determinada relação é lícito considerar-se a viga mais longa como 
apoiada na mais curta. Na prática, para simplificar o cálculo, sempre que ocorre 
tal situação, viga mais longa cruzando com viga mais curta, considera-se a viga 
de vão maior como apoiada na viga de vão menor, ou seja um modelo plano. 
 
 
Vamos supor, agora, uma segunda situação: as vigas, agora, possuem 
os mesmos vãos e seções diferentes. Suponhamos, como no caso anterior, a 
aplicação de uma carga P no ponto de encontro, com cada viga recebendo, em 
princípio, metade da carga. Consideremos, inicialmente, cada viga 
independente da outra. Neste caso a viga de menor altura teria uma 
deformação maior que a viga mais alta. Como na realidade no ponto de 
encontro as deformações são obrigatoriamente iguais, tudo se passa como se 
a viga mais alta sofresse um acréscimo de carga e a viga mais baixa um alívio. 
Ver figura 118 
 
FIG 118 
 
 
 
No modelo plano poderia ser pensado assim: 
 
 
 
 
Crescendo a diferença de alturas entre as vigas, o alívio e o acréscimo 
vão crescendo, de forma que a partir de um certo ponto a viga mais baixa pode 
ser considerada como apoiada na viga mais alta. Esta é a consideração 
simplificadora, normalmente feita na prática, quando ocorre cruzamento de 
vigas de alturas diferentes. 
 
Imaginemos uma terceira situação. As vigas têm os mesmos vãos e as 
mesmas seções. Neste caso, trabalhando juntas ou não, as vigas apresentarão 
sempre, no ponto de cruzamento, as mesmas deformações. Portanto, 
nenhuma delas irá receber acréscimo ou alívio de cargas. Cada uma receberá, 
de fato, metade da carga. Neste caso, não se pode considerar, para simplificar 
os cálculos, viga apoiando-se em viga, pois se estará muito afastado da 
realidade. Qualquer consideração de viga apoiada em viga resultará em 
superdimensionar a estrutura ou criar a possibilidade do aparecimento de 
trincas. Nesta terceira situação tem-se de fato um embrião de uma grelha, ou 
seja, vigas que trabalham conjuntamente não havendo hierarquia entre elas. 
Ver figura 119. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FIG 119 
 
 
 
Quanto mais vigas se cruzarem mais complexo torna-se o 
comportamento do sistema. Há uma interação entre as vigas de sorte que nos 
pontos de cruzamento, algumas vigas são aliviadas, outras sobrecarregadas. A 
determinação dessas forças de interação é que constitui o cálculo de uma 
grelha. 
 
 Normalmente, a grelha apresenta desenhos na forma de retângulos ou 
quadrados, mas como ocorre nas treliças espaciais, outros desenhos mais 
interessantes podem ser utilizados, todos compostos a partir de polígonos 
regulares. Ver figura 120 
 
 
FIG 120
 
Uma solução pouco explorada, mas que resulta em uma estrutura interessante 
e muito leve, é o uso de uma espécie de grelha de vigas vagões. Na verdade, 
esse sistema é constituído de uma malha de cabos, sobre a qual se apóiam 
vigas distribuídas em duas direções; os empuxos dos cabos são absorvidos 
pelas próprias vigas. Ver figura 121. 
 
FIG 121 
 
 
 
Parte do texto referente: Videoaulas/Parte 2: V19 – V22 – V23 – V24 
 
Imagens: img27 a img30 
 
 
 
 
 
 
 
 
TE 52 
 
Estrutura Recíproca 
 
 Uma instigante solução estrutural pode ser realizada com barras que se 
apoiam mutuamente no centro sem a necessidade de qualquer apoio. Esse 
sistema estrutural é denominado de estrutura recíproca. Nessa estrutura a 
altura das barras, a inclinação e o raio do círculo central são interdependentes. 
Uma vez definidas duas das variáveis, a terceira é consequência, não podendo 
ser alterada. Para a construção desse sistema estrutural é necessário prever 
um apoio central provisório, que será retirado após a colocação de todas as 
barras. O uso de barras circulares facilita a execução permitindo que qualquer 
que seja a conformação da estrutura sempre haja um ponto de tangência. Ver 
figura 122. 
 
 
FIG 122 
 
 
 
Comportamento 
 
Grosso modo uma estrutura recíproca pode ser considerada como uma série 
de vigas que se cruzam no centro. Ver figura 123. 
 
FIG 123 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pré dimensionamento 
 
a) Uso de fórmulas empíricas 
 
Para pré-dimensionamento das barras da estrutura recíproca usam-se as 
mesmas relações já vistas para as vigas biapoiadas, usando-se como vãoa 
distância entre os apoios que se encontram em um mesmo plano. Ver figura 
123. 
 
Vigas de aço e madeira: 
 h = 4 % do vão, para cargas pequenas 
 h = 5 % do vão, para cargas médias 
 h = 6 % do vão, para cargas grandes 
 
Vigas de concreto: 
 h = 6 % do vão, para cargas pequenas 
 h = 8 % do vão, para cargas médias 
 h = 10 % do vão, para cargas grandes 
 
b) Uso de gráficos 
Serão usados os mesmos gráficos das vigas. Ver figura 124 
 
FIG 124 
L = vão 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.5
1.2
0.9
0.6
0.3
0 3.0 6.0 9.0 12.0 15.0 18.0 21.0 24.0 27.0 30.0
VIGA DE AÇO
A
LT
U
R
A
 
 E
M
 
 M
E
TR
O
 -
 d
VÃO EM METRO - L
d
0.15
0 1.5 3.0 4.5 6.0 7.5 9.0 10.5 12.0 13.5 15.0
VIGA DE MADEIRA
A
LT
U
R
A
 
 E
M
 
 M
E
TR
O
 -
 d
VÃO EM METRO - L
0.30
0.45
0.60
0.75
d
 
 
 
 
Parte do texto referente: Videoaulas/Parte 2: V25 – V26 – V27 – V28 _ v29 
 
Imagens: img31 a img33 
 
 
 
 
TE 53 
 
ASSOCIAÇÃO VIGA DE ALMA CHEIA X PILAR 
 
Pórtico 
 
 De modo geral pode-se denominar como pórtico todo sistema estrutural 
em que os vínculos entre as barras são rígidos. Ver figura 125. 
 
FIG 125 
 
 
 
0.30
0 1.5 3.0 4.5 6.0 7.5 9.0 10.5 12.0 13.5 15.0
VIGA DE CONCRETO
A
LT
U
R
A
 
 E
M
 
 M
E
TR
O
 -
 d
VÃO EM METRO - L
0.60
0.90
1.20
1.50
d
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Comportamento 
 
 A associação entre vigas e pilares pode se dar de duas formas: em uma 
primeira a viga pode estar simplesmente apoiada, de maneira que seus 
vínculos com os pilares sejam articulados. Neste caso a aplicação de uma 
carga sobre a viga vai transmitir ao pilar apenas cargas verticais. Em uma 
segunda possibilidade a viga pode ser rigidamente ligada ao pilar constituindo 
um pórtico. Neste caso além das cargas verticais a viga transmite também 
flexão ao pilar. Ver figura 16. 
 
FIG 126 
 
 Pode-se ver que no caso de viga simplesmente apoiada sua deformação 
é maior que no caso do pórtico. Dessa observação pode-se concluir que na 
primeira situação a viga é mais solicitada que na segunda. Em contrapartida na 
1 2
 
segunda situação os pilares recebem além da carga vertical, momento fletor e 
força cortante, o que irá exigir maior dimensionamento. 
O uso do pórtico é interessante quando por exigências arquitetônicas a 
viga deva ter sua seção mais reduzida. Outra situação em que o uso do pórtico 
é importante é como elemento de contraventamento da estrutura. Ver figura 
127. 
 
FIG 127 
 
 
Os pórtico podem ter até três articulações e ainda serem isostáticos. Os 
pórticos mais usados podem ser engastados nas bases, chamados pórticos bi 
engastados, ou articulados nas bases, chamados de pórticos bi articulados. 
Pré dimensionamento 
 
a) Uso de fórmulas empíricas. 
As secções usadas nos pórticos podem ser as mesmas usadas para 
vigas e pilares. 
 
b) Uso de gráfico. Ver figura 128. 
 
 
 
 
 
 
FIG 128 
 
 
 
 
 
15.0
12.0
 9.0
 6.0
 3.0
0 4.5 9.0
0.45 0.60 0.90 1.50
13.5 18.0 22.5 27.0 31.5 36.0 40.5 45.0
A
LT
U
R
A
 
 E
M
 
 M
E
TR
O
 -
 H
VÃO EM METRO - L
ESPESSURA EM METRO - D
PÓRTICO DE CONCRETO
D
H
L
30.0
24.0
18.0
12.0
 6.0
0 9.0 18.0
0.60 0.90 1.20 1.50 2.10 2.40
27.0 36.0 45.0 54.0 63.0 72.0 81.0 90.0
A
LT
U
R
A
 
 E
M
 
 M
E
TR
O
 -
 H
VÃO EM METRO - L
ESPESSURA EM METRO - D
PÓRTICO DE AÇO
L
D
H
 
 
 
Parte do texto referente: Videoaulas/Parte 3: V1 – V2 – V3 – V5 - V6 
 
Imagens: img34 a img37 
 
TE 54 
ASSOCIAÇÃO PILAR X CABO 
 
Pilar vagonado 
 
Para diminuir o comprimento livre do pilar, fator preponderante na 
questão da flambagem, pode-se lançar mão de uma associação entre cabo e 
pilar, na qual o cabo é usado para travar o pilar diminuindo seu comprimento de 
flambagem. Devido à semelhança com a viga vagonada, denominamos esse 
sistema de Pilar Vagonado. . Ver figura 129. 
 
 
 
15.0
12.0
 9.0
 6.0
 3.0
0 4.5 9.0
0.45 0.60 0.90 1.20
13.5 18.0 22.5 27.0 31.5 36.0 40.5 45.0
A
LT
U
R
A
 
 E
M
 
 M
E
TR
O
 -
 H
VÃO EM METRO - L
ESPESSURA EM METRO - D
PÓRTICO LAMINADO - MADEIRA
L
D
H
 
FIG 129 
 
 
 
 A tendência ao giro do pilar provocada pela flambagem é absorvida por 
compressão no pilar e tração no cabo. Ver figura 130. Quanto mais afastados 
os cabos estiverem do centro do pilar mais rígido será o conjunto. Essa solução 
permite a utilização de pilares muito altos e bastante esbeltos. 
 
 
 
 
FIG 130 
 
cabos
cabos
pilar
pilar
compressão
pilar tração
cabos
tração
 
Pré dimensionamento 
 
Usam-se as mesmas fórmulas empíricas e os mesmos gráficos dos 
pilares comuns, atentando-se à questão de que o comprimento de flambagem 
do pilar foi diminuído pelo vagonamento. 
 
Parte do texto referente: Videoaulas/Parte 3: V7 – V9 – V10 
 
Imagens: img38 – img39 
 
TE 55 
 
ASSOCIAÇÃO PILAR X PILAR 
 
Pilar em árvore 
 
A denominação Pilar em árvore se deve a ramificação que ocorre nesses 
pilares, A cada ramificação mais alta, maior a quantidade de pilares e menores 
suas dimensões. Essa solução tem como objetivo a diminuição dos vãos da 
estrutura sustentada sem adensamento de pilares na base. Ver figura 131. 
 
Fig 131 
 
 
 
Comportamento 
 
Os pilares em árvore comportam-se de maneira semelhante a uma árvore. As 
cargas que vêm dos galhos mais altos, vão se concentrando em outros galhos, 
depositando-se finalmente no tronco central. A grande questão nesse tipo de 
estrutura é encontrar a melhor posição e angulação dos galhos, de maneira 
que as cargas caminhem da melhor maneira, ou seja, que os “galhos” só 
apresentem compressão. Para determinar essa geometria, usa-se um processo 
semelhante ao feito por Gaudi (funiculares), proposto por Frey Otto. Esse 
processo usa barbantes de algodão molhados. Os barbantes são distribuídos 
conforme o projeto arquitetônico ou estrutural. São molhados e unidos. Depois 
são deixados abrirem naturalmente, até se estabilizarem em uma geometria 
que corresponde ao menor nível de energia. A geometria adquirida pelos 
barbantes no ponto de equilíbrio é a melhor disposição para os “galhos” do pilar 
em árvore. Ver figura 132. 
 
FIG 132 
 
 
 
Posição de equilíbrio 
 
 
 
Pré dimensionamento 
 
Para pré dimensionamento dos diversos “galhos” usam-se os mesmos critérios 
dos pilares comuns, observando sempre que a carga total vai se repartido 
conforme o número de “galhos” aumenta. 
 
Parte do texto referente: Videoaulas: Parte 3: V12 – V13 
 
Imagens:img40 a img42 
 
COMENTÁRIO FINAL 
 
Devido ao espaço de tempo reservado a este curso, discutimos aqui 
apenas algumas das possibilidades de associações entre os diversos sistemas 
estruturais básicos. De maneira alguma esgotamos as possibilidades, já que 
elas são quase infinitas. 
 Àqueles que estiverem interessados em conhecer outras possibilidades, 
sugerimos a leitura do livro “A Concepção Estrutural e a Arquitetura” da nossa 
autoria. 
 
Parte final – Videoaulas/Parte 3: V14 – V15