Vibrações Forçadas 1 GDL

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Vibrações forçadas de 
sistemas com 1 GDL 
sem amortecimento 
Prof. Marcos Daniel de Freitas Awruch 
Equação do movimento 
 Considere o sistema massa, mola e amortecedor submetido à ação 
de uma força externa: 
 
 
 
 
 
 
 Para esse problema a equação do movimento é: 
 
𝑚𝑥 + 𝑐𝑥 + 𝑘𝑥 = 𝐹(𝑡) 
 
 Ou se normalizado pela massa e reescrevendo em função de 𝜁 e 𝜔𝑛: 
 
𝑥 + 2𝜁𝜔𝑛𝑥 + 𝜔𝑛
2𝑥 =
𝐹 𝑡
𝑚
 
2 
Equação do movimento 
 Essa equação do movimento é uma equação diferencial não-
homogênea, cuja solução tem a forma: 𝑥 𝑡 = 𝑥𝐻 𝑡 + 𝑥𝑃(𝑡) 
 Onde 𝑥𝐻(𝑡) é a solução homogênea e 𝑥𝑃(𝑡) é a solução particular. 
 Note na figura abaixo que para um sistema amortecido, a solução 
homogênea desaparece com o tempo e a solução geral se iguala à 
particular. Chamamos essa resposta de estacionária. 
 No sistema não amortecido 𝑥𝐻(𝑡) permanece e fará parte da 
resposta estacionária. 
 
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Sistema não amortecido 
 Considerando um sistema de 1 GDL sem amortecimento submetido 
à uma força harmônica 𝐹 𝑡 = 𝐹0 cos 𝜔𝑡 , onde 𝜔 é a frequência de 
excitação da força externa. A equação do movimento para esse 
caso é 𝑚𝑥 + 𝑘𝑥 = 𝐹(𝑡) 
 A forma da solução homogênea já foi vista anteriormente e é: 
𝑥𝐻 𝑡 = 𝐶1 cos 𝜔𝑛𝑡 + 𝐶2sen 𝜔𝑛𝑡 
 Se a força 𝐹 𝑡 é harmônica, a solução particular 𝑥𝑃(𝑡) também 
será. Então assume-se que essa solução tem a forma: 
𝑥𝑃 𝑡 = 𝑋cos 𝜔𝑡 
 Substituindo na equação do movimento: 
𝑚𝑥 𝑃 + 𝑘𝑥𝑃 = 𝐹0cos(𝜔𝑡) 
 
−𝜔2𝑚𝑋cos 𝜔𝑡 + kXcos 𝜔𝑡 = 𝐹0cos 𝜔𝑡 
 
−𝜔2𝑚𝑋 + 𝑘𝑋 = 𝐹0 
 
𝑋 𝑘 − 𝜔2𝑚 = 𝐹0 
 
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Sistema não amortecido 
 Então 𝑋 que é a máxima amplitude da solução particular é: 
𝑋 =
𝐹0
𝑘 − 𝜔2𝑚
 
 
 E a solução particular é dada por: 
𝑥𝑃(𝑡) =
𝐹0
𝑘 − 𝜔2𝑚
cos 𝜔𝑡 
 
 Dividindo-se o numerador e denominador de 𝑋 por 𝑘, temos que: 
𝑋 =
𝛿𝑠𝑡
1 −
𝜔2
𝜔𝑛
2
 
 
 Onde 𝛿𝑠𝑡 = 𝐹0/𝑘 é o deslocamento estático. 
 Podemos definir o fator de amplificação dinâmica: 
𝑋
𝛿𝑠𝑡
=
1
1 −
𝜔2
𝜔𝑛
2
 
 
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Fator de amplificação dinâmica 
 O fator de amplificação dinâmica indica a relação entre a máxima 
amplitude da solução particular, 𝑋, e o deslocamento estático 
𝛿𝑠𝑡 =
𝐹0
𝑘
 que representa a extensão da mola se fosse aplicada uma 
força estática 𝐹0. 
 
6 
𝐹 𝑡 = 𝐹0 cos 𝜔𝑡 
 
 
 
𝑋
𝛿𝑠𝑡
=
1
1 −
𝜔2
𝜔𝑛
2
 
 
Fator de amplificação dinâmica 
 Note que pela expressão (ou gráfico) temos uma singularidade 
quando 
𝜔
𝜔𝑛
= 1. Quando a frequência da força excitadora 𝜔 é igual à 
frequência natural do sistema 𝜔𝑛 , a amplitude do movimento 𝑋 
tende ao infinito. Esse fenômeno é chamado de ressonância. 
 Quando 0 1 o denominador será negativo, 
indicando que a resposta está defasada em 𝜋 rad da força 
excitadora. 
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Resposta do sistema 
 A resposta final para o problema é a soma da solução homogênea e 
da particular, portanto: 
𝑥 𝑡 = 𝐶1 cos 𝜔𝑛𝑡 + 𝐶2sen 𝜔𝑛𝑡 +
𝐹0
𝑘 − 𝜔2𝑚
cos 𝜔𝑡 
 As constantes 𝐶1 e 𝐶2 podem ser determinadas pelas condições 
iniciais 𝑥 0 = 𝑥0 e 𝑥 0 = 𝑥 0: 
 
𝑥 0 = 𝐶1 +
𝐹0
𝑘 − 𝜔2𝑚
 ∴ 𝐶1 = 𝑥0 −
𝐹0
𝑘 − 𝜔2𝑚
 
 
𝑥 0 = 𝜔𝑛𝐶2 ∴ 𝐶2 =
𝑥 0
𝜔𝑛
 
 Assim, a solução se torna: 
 
𝑥 𝑡 = 𝑥0 cos 𝜔𝑛𝑡 +
𝑥 0
𝜔𝑛
sen 𝜔𝑛𝑡 +
𝐹0
𝑘 − 𝜔2𝑚
cos 𝜔𝑡 − cos 𝜔𝑛𝑡 
 
 É importante observar que 𝐶1 e 𝐶2 não são iguais às da vibração 
livre. Apenas a forma da solução homogênea é a mesma, mas não 
os valores dessas constantes, como visto acima. 
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Ressonância 
 O último termo da solução é indefinido para 𝜔𝑛 = 𝜔: 
 
𝛿𝑠𝑡
1 −
𝜔2
𝜔𝑛
2
cos 𝜔𝑡 − cos 𝜔𝑛𝑡 =
0
0
 
 
 Aplicando a regra de L’Hopital: 
 
lim
𝜔→𝜔𝑛
cos 𝜔𝑡 − cos 𝜔𝑛𝑡
1 −
𝜔2
𝜔𝑛
2
= lim
𝜔→𝜔𝑛
𝑑
𝑑𝜔
cos 𝜔𝑡 − cos 𝜔𝑛𝑡
𝑑
𝑑𝜔
1 −
𝜔2
𝜔𝑛
2
 
 
= lim
𝜔→𝜔𝑛
−𝑡 sen 𝜔𝑡
−2
𝜔
𝜔𝑛
2
=
𝜔𝑛
2
𝑡sen 𝜔𝑛𝑡 
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Ressonância 
 Assim, para um sistema em ressonância, a resposta será: 
𝑥 𝑡 = 𝑥0 cos 𝜔𝑛𝑡 +
𝑥 0
𝜔𝑛
sen 𝜔𝑛𝑡 +
𝛿𝑠𝑡𝜔𝑛
2
𝑡sen 𝜔𝑛𝑡 
 Fica em evidência que a resposta 𝑥𝑃 (𝑡) aumenta linearmente com o 
tempo: 
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Batimento 
 Se a frequência da força de excitação é muito próxima da 
frequência natural do sistema, ocorre o fenômeno de batimento. 
 A amplitude aumenta e diminui de forma regular. 
𝜔𝑛 − 𝜔 = 2𝜀 
 
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Exemplo (Rao, ex 3.1) 
 Um motor de 60 kg é instalado em uma viga bi-engastada de módulo 
de elasticidade de 210 GPa. Durante a operação, o motor induz na 
viga uma força harmônica 𝐹 𝑡 = 2000 cos 62𝑡 N. Determine a 
amplitude de vibração da solução particular. 
 
 
 
 
 Inicialmente montamos um sistema equivalente com 1 GDL. O 
momento de inércia e a rigidez equivalente da viga são: 
 
𝐼 =
𝑏ℎ3
12
=
0,05 0,012 3
12
= 7,2 ∙ 10−9 m4 
 
𝑘𝑒𝑞 =
192𝐸𝐼
𝐿3
=
192 210 ∙ 109 7,2 ∙ 10−9
2,5 3 = 18580 N/m 
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Exemplo (Rao, ex 3.1) 
 A amplitude de vibração da viga correspondente a solução particular 
pode ser calculada por: 
 
𝑋 =
𝐹0
𝑘𝑒𝑞 −𝜔2𝑚
=
2000
18580 − 62 2 60
= −0,0094 m 
 
 O sinal negativo indica que 𝑥𝑃(𝑡) não está em fase com 𝐹(𝑡). A 
frequência natural do sistema é 
 
𝜔𝑛 =
𝑘
𝑚
=
18580
60
= 17,597 rad/s 
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Exercício 
1) Utilizando algum software plotar as curvas de 𝑥𝑃(𝑡), 𝑥𝐻(𝑡) e 
𝑥𝑡 𝑡 = 𝑥𝑃 𝑡 + 𝑥𝐻(𝑡) para o exemplo do slide anterior. 
Plotar a curva de 𝐹(𝑡) e indicar se está em fase com 𝑥𝑃(𝑡). 
Para essa atividade considerar 𝑥 0 = 0,01 m e 𝑥 (0) = 0. 
Resposta: 
𝑥𝑃(𝑡) = −0,0094 cos 62𝑡 
𝑥𝐻(𝑡) = 0,0194 cos 17,597𝑡 
 
2) Se verificou anteriormente que a frequência natural do sistema é 
𝜔𝑛 = 17,597 rad/s. Altere a frequência de excitação da força 𝐹(𝑡) para 
19 rad/s, deixando próxima à frequência natural. Observe o fenômeno 
de batimento simulando o movimento entre 0 e 15 segundos. 
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Referências: 
 Rao, S. S. Vibrações Mecânicas, 4ª ed, Pearson, 2008. 
 Kelly, S. G. Vibrações Mecânicas: teoria e aplicações, 1ª ed, 
Cengage, 2017. 
 Inman, D. J. Engineering Vibrations, 4ª ed, Pearson, 2014. 
 Savi, M. A.; de Paula, A. S. Vibrações Mecânicas, 1ª ed, LTC, 
2017. 
 Balachandran, B.; Magrab, E. B. Vibrations, 2ª ed, Cengage, 2009. 
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